学案58 两角差的余弦公式-【智学校本学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

人教A版数学必修第一册 课 学案58 两角差的余弦公式 记 学习任务 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.（逻辑推理） 2.掌握两角差的余弦公式的应用.（数学运算） 1 课堂活动 问题3当α=2kπ十B(∈Z)时，上述公式还成 立吗？ 活动一推导两角差的余弦公式 阄新知导学 阅读教材第215一216页，完成下列问题， 问题1如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相 交于点A(1,0),以x轴非负半轴为始边作角 a,B,a一B,它们的终边分别与单位圆相交于点 厅新知生成 P1,A1,P. cos(a-B)= ,其中 yp,a终边 终边 a,B为任意角，简记作C。-: -B终边 公式的左端为两角差的余弦，右端为这两角的同 41.0) 名三角函数值积的和.可用“余余正正号相反”记 忆公式 P1,A1,P点的坐标如何表示？AP与AP1有 什么关系？ 今新知应用 利用公式Ca-证明： acos(经-a）=sme: (2)cos(π-a)=-cosa. 1 问题2利用AP与A1P,的关系及距离公式，你 能得到cos(a一B)与角a,B的三角函数关 系吗？ 「方法总结」使用公式Ca-)时，由于a,B均为 任意角，故可以代换成任意值，包括零、特殊角、负 角等. 1180 两角差的余弦公式学案58 活动二给角求值 2.已知a8e0,》,且sina=手cosa)= 听 今新知应用 品求oms月能位。 记 1.cos(-)的值是 ( A.6-② 2 B.6+2 2 C,6+2 D.6-2 4 4 2.cos50°cos20°+cos40°sin20°的值为() A-号 R日 c n-号 32os15+ 2sin105°= 4.cos(a-35)cos(a+25)+sin(a-35)sin(a+ 25)= 「方法总结」利用公式C。-)求值的常见类型及 解法 「方法总结」给值求值的解题策略 (1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三 式直接展开求解. 角函数值，要注意观察已知角与所求角的关系，即 (2)含有常数的式子，先将常数转化为特殊角的三 拆角与凑角. 角函数值，然后利用两角差的余弦公式求解。 (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程 (3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为 中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常 两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求 见角的变换有： 解，注意公式的逆用 ①a=(a+B)-B; 活动三”给值求值 ②g=a十P&-B 新知应用 2 2； ③2a=(a+B)+(a-B); 1.已知sne=手a∈（经x小，cos月=-9是 5 ④28=(a+B)-(a-B). 第三象限角，求cos(a一B)的值. 活动四给值求角 今新知应用 1.已知cosa= 2 5,sin B= 3√10 10,Q∈ (,x9∈(2,0，则a-B ) c D贸 18110 人教A版数学必修第一册 4√ 课 2.已知sina= 7,cos(a-)=13, i40<9<a< 3.已知&为锐角，3为第三象限角，且cosa 12 131 记 三，求角日的大小 sin B=- 3 ，则cos(a一B)的值为 ( 63 A.一65 33 c错 33 D.65 4.(多选)sina 号，则eo任-。的值可能为 ② A.-1 B.、② 0 c 以德 「方法总结」已知三角函数值求角的解题步骤 1 5.已知a,3满足cosa十cosB= (1)界定角的范围：根据条件确定所求角的范围. 2,sin a+sin B= (2)求所求角的某个三角函数值：根据角的范围选 () 择求哪一个三角函数值，原则是由所求的三角函 年，则cosa一9= 数值能确定角所在的象限. c-8 D. (3)求角：结合三角函数值及角的范围求角. 课堂小结 给角求值 (,8）,8e(o,),则cosa+)= () os(a-B) 正用，逆用 变形用 给值求值 给值求角 A. 33 3 65 C.- 5 课堂达标 7.(多选)已知a8,7(o, )sin a+sin y=sin B, 1.cos10°cos70°+sin70°sin10°= cosB十cosY=cosa,则下列说法正确的是 1 A.2 ( c ③ Acos(g-a）=月 B.cos(B-a)=- D.- 2 2 2.化简cos Bcos(3-a)十sin Bsint(B-a)的结果为 C.8-a= 3 D.B-q--x 3 ( 8.cos80°cos140°+sin100°sin140°= A.cos(a++28) B.cos(2a+B) C.cos a D.cos B 9.cos7°-sin15sin80 cos 8 课后反思 11182活动三探究正切函数的单调性、值域 新知导学 问题6提示：正切画数在区间（一分，）上单调递增.由正 切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间 （-受十k元，受十kx)(∈2)上都单调递增.不能说在定义 域内单调递增. 新知应用 1.(1)D[由函数f(x)=1+a(-ux+于)在(0,1)上单调 递增， 根据正切函数的性质，可得一w>0, 当x0,1)时，可得-auc+∈（径，-w+), 则-十≤受，解得-≤w<0 故选D.] 2c[周为z∈（管m故x+子∈（昏，吾+m, 由函数fa)=an(e十晋)在（行m)上单弱适增， 故子+m<经，所以<m≤ 7π 故选BC.] 2.解：1)国为f(x)=3an(日-)--3an(任-）， 所以)阶表小玉网湘T=奇一是-机 得4-智<<x+经∈D, 国为y=3m(任-吾）在（触-经，kx+警）∈团上单调 递增， 所以f(x)=3an(石-）的单调递减区间为 (x-经4x+）∈D. (2fw=3an(g-)=3tan(-)=-3an0 f(）=3an(后一）=3a(-)=-3am。 为0<受 且y=tanx在(0，受)上单调递增， 所以am吾<an爱所以fx>f(受） 课堂达标 1.B[y=an(-1)的最小正周期为”=1. π 故选B.] 174 2cxe[,…2x+∈[] 3an(2z+g)e[,3]. 故选C.] 3.D[f(-x)=tan(-2x)川=|tan2x|=f(x),为偶函数， 4A[当x-受时，tan(侵×否-）=0，稀除c.D 西基的月期T=至-2，游除B当工受时， 1 2 a(号×暂-晋）-am多无意义，同理多x-一晋时，也 无意义，故选A.] 5.4-2厅[面数y=2mx+a在[后，]上单消运增，则当 x=号时，yaa=2an合十a=a+26, 因此a十2√3=4，解得a=4-25.] 6.[因为f(x)=tan(x十p)的图象关于原点中心对称， 所以g经，∈乙，又p>0,放g的最小值为受] .{女kx+音<x<kx+受keZ[由3anx-B≥0，得 加≥停在（吾，受）内满足上选不等我的上的取维范 国为[后)： 又y=tanx的周期为π， 所以所求x的范因是{女医x+晋≤x<x十登∈Z.] 学案58两角差的余弦公式 课堂活动 活动一推导两角差的余弦公式 新知导学 问题1提示：P1(cosa,sina),P(cos(a一B),sin(a-B)), A1(cosB,sinB),连接AP,A1P,(图略)，根据圆的旋转对称 性，容易发现AP=A1P1. 问题2提示：根据两，点间距离公式，得 [cos(a-B)-1]2+sin2(a-B)=(cos a-cos B)2+(sin a -sin B), 化简得cos(a一B)=cos acos B+sin asin B. 问题3提示：成立. 新知生成 cos acos 8++sin asin 8 新知应用 证明：1cos(受-a）=os受cosa+sin吾sina =0+1Xsin a =sin a. (2)cos(π-a)=cosπcosa+sinπsina =(-1)X cos a+0 --cos a. 活动二给角求值 新知应用 1.c[os()-os(年-）=0号+smsn弩 -号×名+号×-6c] 4 2.C[cos50°cos20°+cos40°sin20°=cos50°cos20°+sin50°sin20° -s60-20）-m30-gJ [原式=cos60°cos105°+sin60°sin105 cos(60°-105)=cos(-45)=2.] ,[原式=c0s[(a-35)-(a+25)]=cos(-35°-25)= c0s(-609）=cos602=2】J 活动三给值求值 新知应用 1.解：由sma=号a(受)得 cosa=-√1-sina=-, -()=- 又由cos日=一13B是第三象限角，得 sing=--cos=√1-()=号， 所以cos(a-B)=cos acos B+sin asin3 =()×()+后×()=-器 2.解：因为a,B∈(o,),所以0<a+<, 由cos(a十B)=- 得sna十创-铝。 所以cosB=cos[(a十)-a] =204 Γ325 活动四给值求角 新知应用 1.C[因为a∈(，x), 所以血1-(2-怎， 因为∈(-0： 所以1--（可- 故osa-8)=o+sin asin8=(-2g5）×沿+ 因为如0=<号=n要y=血：在（货上单明港 成米货小同为得-》 =c0sx在(-2,0)上单调递增，所以月∈(-受，-），所 以e一A∈(，），所以e-A=要] 2.解：因为sina= 50a<, 4W3 所以cosa=-a=号 13 因为osa-)-1年，且0<B<a<受， 所以0<a-B<2: 所以ina-)=Vcos产(a-BD-38, 所以cosB=cos[a一(a-3)]=cos acos(a-3)+sin asin(a 1×13143331 -)=714+71 14-2 因为0<<受，所以P=子 课堂达标 1.A[cos10°cos70°+sin70°sin10°=cos(70°-10)=cos60° =选A] 2.C[原式=cos[g-(B-a)]=cosa.故选C.] 12 3.A[:a为锐角，cosa=13 血。-个o。-品 :日为第三象限角，sinB=一后， 3 “cosg=-√小-sinB=-5, 4 csa-=叶=器×(）+是× (）=-0 故选A.] 4.BC ['.'sin a= osa=士号 3 当cos8=音时， 故选BC.] 75Π 1 1 5.B[:cosa+cos月=2，sina+sing=4, o+eos9+2=子，① 1 sin'asin B2sin asin 由①+②得2+2(cos acos B+sin asinβ) =2+2cos(a-B)=i6, 5 cos(a-9)=-22 321 故选B.] 6.A[cs(-）-sm(+-号a∈（任，）， Be(o,）-吾<-a<0,<要+<经。 ∴sa(任-a）=-音os(+）=-语 .cos(a十B)=-cos(π十a十β) =-os[(+)-(任-] =-cos(+p）cos(任-a）-sin(+)sim(-a） =-(←)×号-()×()=-器 故选A.] 7.AC[由已知，得siny=sinB-sina,cosy=cosa-cosR.两 式分别平方相加，得(sinB-sina)2十(cosa-cos)2=l.. -2cos(g-a)=-1,cos(B-a)=2A正确，B错误.： a,y(o,）∴sin7=sin月-sina>0,9>a,g-a =台C正确，D错误，故选AC] 8.2[cos80°cos140+sin100°sin140 =cos80°cos140°+sin80°sin140° =cas(680-140)=cos60=2-】 9.6+2 4 [原式=eos15°-8)-sin15°sin8 cos8° =cos15°cos8°+sin15sin8°-sin15sin8 cos 8 -c0s15'c0s8=c0s15°=c0s(60°-45) c0s8° =cos60°cos45°+sin60°sin45° 4 学案59两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课堂活动 活动一推导两角和的余弦公式和两角和 与差的正弦和正切公式 问题1提示：注意到a十B=a一（一），我们可以用“一B”代替 公式C)中的角B,根据两角差的余弦公式进行展开. p cos(a+B)=cos [a-(-B)]=cos acos(-B)+sin asin(-B) =cos acos3-sin asinβ. 176 问题2提示：sine+B)=cos[受-a+B)] =aos[(登-a）-月]=in+oi, 同理，sin(a-3)=sin acos3-cos asin B. 问题3提示：tan(a十B)=sin(a十B=sincs+-cos asin cos(a+8) cos acosβ-sin asinβ tan a+tan B tan atan A' 问题4提示：用“一B”替换tan(a十B)中的角B. 新知生成 1.cos acos B-sin asin B 2.sin acos B+cos asin B sin acos B-cos asin B 新知应用 解：(1)sin165°=sin(180°-15)=sin15°=sin(45°-30)= 血45om30-w45血30-竖xg-竖×名 =6-√2 4 e血登-如（任+）-如子w若+m子如号-号 ×号x号-4吧 4 (3)法一：原式=sin20°sin40°-cos20°c0s40°=-(cos20° 40°-sin20°sin40)=-cos60°=- 法二：原式=cos70°sin40°-cos20°cos40° =sin40°cos70°-sin70°cos40° =sin(40°-70)=sin(-30) =-sin30°=-2 1 w=rg =tan(17°+43)=tan60°=√/3. (5)因为tan45-1,所以-an15-an45°-tan15 1+tan 151+tan 45tan 15 =tan(45°-15)=tan30°=5 31 活动二用和角、差角公式化简、求值 新知应用 1.B[因为 cos a cos a-sin a =√5，分子分母同除以c0sa, 所以1一tana 13→tana=1-3, 所以e+)巴点-2g-1】 2.A[因为cos(a十B)=m, 所以cos acos B-sin asin B=m, 而tan atan B=2,所以sin asin3=2 cos acos B, 故cos acos B-2 cos acos B=m,即cos acos B=-m, 从而sin asin3=一2m,故cos(a-B)=一3m. 故选A.] 3.一7 [tan 2B=tan [(a+B)-(a-B)] 11 tan(a+8)-tan(a-B)3 2 i+ana+)ama仍1+号×号 1