考点3-5 函数与导数应用：恒成立（存在）与不等式求参-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

考点3-5 函数与导数应用：恒成立（存在）与不等式求参 1．（2022·广东·红岭中学期中）若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将不等式，对恒成立，转化为和，恒成立，令，利用导数法求其最小值即可. 【详解】 因为不等式，对恒成立， 当时，显然成立， 当，恒成立， 令，则， 令， 则在上成立， 所以在上递减， 则， 所以在上成立， 所以在上递减， 所以， 所以， 故选：A 2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校期中（文））已知，若∃，使，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 转化为不等式在内有解，构造函数，，求出其最小值即可得解. 【详解】 依题意可得不等式在内有解， 设，， 则， 由，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，所以，所以.故选：A. 3．（2022·浙江·阶段练习）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据即可得，进而可得的取值范围 【详解】 在恒成立. 当，记， 所以在单调递增，， 故 故，所以 ， 故选：C 4.（2022·江苏省扬州市教育局期末）已知，，若对，，使得，则实数的最小值为_________. 【答案】 【分析】 依题意可知，分别求出及，列式即可求解 【详解】 依题意可知 则，当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以 在上单调递增，则 所以，所以，即的最小值为 故答案为： 5．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】 利用导数可求得在上的单调性，进而确定在上的值域；由正弦型函数值域的求法可求得在上的值域；由能成立问题的求法可确定，解不等式组求得结果. 【详解】 当时，， 在上单调递增，又在上单调递减，，， ； 当时，，，， 若存在，使得成立，则， 即，解得：，实数的取值范围为. 故答案为：. 6．（江西省抚州市七校联考2021-2022学年下学期摸底考试数学（理）试题）已知，则 A． B．4 C． D．6 【答案】A 【分析】 根据基本不等式可得，当且仅当时取等号，从而可到，再构造函数分析可得，从而得到，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得，因为，，所以，当且仅当时取等号，所以，令，则，当，，单调递增；当时，单调递减，所以，当且仅当时取等号，即，所以，所以，所以，所以． 故选：A 7．（2022·重庆·四川外国语大学附属外国语学校阶段练习）若存在两个正实数，使等式成立，其中是自然对数的底数，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由条件转化为，换元，令，由导数确定函数的值域即可求解. 【详解】 ， 设且，设，那么，恒成立， 所以是单调递减函数， 当时，，当时，，函数单调递增， 当，，函数单调递减， 所以在时，取得最大值，，即，解得：，故选：D. 8．（2022·四川成都·期末（理））已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造，求导分析函数的单调性与最值可得，故函数在R上为增函数，再根据在R上恒成立求解即可 【详解】 设，则． 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增． ∴，故． 又∵对任意恒成立，∴函数在R上为增函数， ∴在R上恒成立，∴在R上恒成立，即， ∴，∴实数的取值范围为． 故选：A． 9．（2022·江苏省扬州市教育局期末）已知，，若对，，使得，则实数的最小值为_________. 【答案】 【分析】 依题意可知，分别求出及，列式即可求解 【详解】 依题意可知 则，当时，；当时， 所以在上单调递增，在上单调递减 所以 在上单调递增，则 所以，所以，即的最小值为 故答案为： 10．（2021·河南·睢县高级中学高三阶段练习（理））已知函数和函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】 利用导数可求得在上的单调性，进而确定在上的值域；由正弦型函数值域的求法可求得在上的值域；由能成立问题的求法可确定，解不等式组求得结果. 【详解】 当时，， 在上单调递增，又在上单调递减，，， ； 当时，，，， 若存在，使得成立，则， 即，解得：，实数的取值范围为. 故答案为：. 11．（2022·全国·高考真题（理））已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 【答案】 【分析】 由分别是函数的极小值点和极大值点，可得时，，时，，再分和两种情况讨论，方程的两