考点3-4 函数与导数应用：零点-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

考点3-4 函数与导数应用：零点 1．（2022·北京丰台·高三期末）已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围. 【详解】 函数有两个不同的零点， 即为函数与直线有两个交点， 函数图象如图所示： 所以， 故选：D. 2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则函数零点个数为（       ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】当时和时，分别化简函数的解析式可直接判断零点的个数. 【详解】 当时，，所以不存在零点； 当时，，也不存在零点，所以函数的零点个数为0. 故选：A. 3．（2022·江西·模拟预测（文））已知函数，，的零点分别是a，b，c，则a，b，c的大小顺序是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，，的零点看成函数分别与，，的交点的横坐标，分别画出这些函数图象，利用数形结合的方法即可求解. 【详解】 由已知条件得 的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标，的零点可以看成与的交点的横坐标， 在同一坐标系分别画出，，，的函数图象，如下图所示, 可知， 故选：. 4.（2019·全国·高考真题（文））函数 的零点个数为_________． 【答案】1 【分析】分和时，求函数的零点个数，可得答案. 【详解】 当 时， 有一个零点 ； 当 时，，无零点， 故函数 的零点个数为1个 故答案为：1 5．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））已知函数的最大值为，若函数有三个零点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质求出的最大值为，依题意可得函数的图象与直线有三个交点，利用导数研究函数的单调性与极值，即可得到函数图象，结合函数图象即可求出参数的取值范围； 【详解】 解：因为， 所以的最大值为， 易知函数有三个零点， 等价于函数的图象与直线有三个交点， 因为， 所以当或时，，当时，，所以在，上单调递减，在上单调递增， 所以，， 又当时，；当时，，函数的图象如下所示： 结合函数图象可知，若函数的图象与直线有三个交点，则． 故答案为： 6．（2022·河南安阳·模拟预测（理））函数在的零点个数为 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 令，得或，再根据x的取值范围可求得零点. 【详解】 由， 得或，， ． 在的零点个数是3， 故选B． 【点睛】 本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题． 7．（2022·天津·耀华中学二模）已知函数有三个零点，且，则（       ） A．8 B．1 C．－8 D．－27 【答案】D 【分析】根据题意可得：有三解，令，由的图像可得故最多只有两个解，所以有两解，，有一解为，有两解为，代入即可得解. 【详解】 由， 即有三解， 令，设， ， 当，为增函数， 当，为减函数， 图像如图所示： 故最多只有两个解， 若要有三解， 则有两解， ，， 故有一解为， 有两解为， ， 故选：D 8．（2019·浙江·高考真题）已知函数（且），若函数的零点有5个，则实数a的取值范围为（       ） A． B．或 C．或或 D．或 【答案】D 【分析】依题意函数的零点即为方程的根，对分四种情况讨论，结合函数图形即可得解； 【详解】 解：依题意函数的零点即为方程的根， ①当时函数的函数图象如下所示： 所以有两个根，（，）， 而对应2个根，所以需要对应3个根， 所以，即，解得； ②当时函数的函数图象如下所示： 所以有两个根，（，），而对应2个根， 对应2个根，即共四个根，所以不满足题意； ③当时函数的函数图象如下所示： 所以有三个根，，， 从而，，，所对应2、2、1个根， 即共5个根，所以满足题意； ④当时函数的函数图象如下所示： 所以有三个根，，，（，，）， 而，，分别对应2、2、0个根，即共四个根， 所以不满足题意； 综上可得实数的取值范围为或； 故选：D 9.（2021·天津·高考真题）如果两个函数存在零点，分别为，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”.若与互为“2度零点函数”，则实数的最大值为___________. 【答案】 【分析】由的零点为3得出的零点的范围，得出，构造，利用导数得出其最值，进而得出实数的最大值. 【详解】 函数的零点为3，设函数的零点为，则.，令，，；，即函数在上单调递增，在上单调递减，，即实数的最大值为. 故答案为： 10．（2023·全国·高三专题练习）已知是函数的零点，则_______． 【答案】2 【分析】根据零点定义可得，整理可得，