考点4-3 解三角形-2023年高考数学一轮复习小题多维练（全国通用）

考点4-3 解三角形 1．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 由正弦定理得，在中，由余弦定理即可求解. 【详解】 因为，由正弦定理可知， 在中，由余弦定理可得：，解得， ，故 故选：D 2．（2023·全国·高三专题练习）如图，在中，已知，D是边上的一点，，则的长为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由余弦定理求出，得到，由正弦定理进行求解出答案. 【详解】 在中，由余弦定理得：， 因为， 所以， 在中，由正弦定理得：，即， 解得： 故选：D 3．（2023·全国·高三专题练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（       ） A． B．5 C．8 D． 【答案】A 【分析】 由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案 【详解】 由题意可知， ，得 ， 由余弦定理可得： 整理得： ， 故选：A 4.（2021·福建省华安县第一中学高三期中）如图所示，在中，M是在线段上，，，，则边的长为_____________. 【答案】 【分析】 根据，可得，再在中用正弦定理求解即可 【详解】 因为，，故，在中由正弦定理有，故 故答案为： 5．（2023·全国·高三专题练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，则___________． 【答案】 【分析】 由正弦定理角化边，即可得到，从而得到，再由余弦定理求出，最后由同角三角函数的基本关系计算可得； 【详解】 解：因为，即，由正弦定理可得， 又，即，即， 由余弦定理，即， 所以， 所以； 故答案为： 6.（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由余弦定理及已知条件可得，即可求的取值范围. 【详解】 由，故. 故选：A 7．（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据题意，利用正弦定理边化角，由三角形内角和定理，展开化简得． 【详解】 由，边化角得， 又，所以， 展开得， 所以， 因为，所以． 故选：B． 8．（2022·青海·模拟预测（理））在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积为时，k的最大值是（       ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】 由三角形的面积公式，可得， 根据余弦定理，可得， 则整理出以为函数值的三角函数，根据三角函数的性质，可得的最值. 【详解】 由题意得，所以， 又因为，所以， 所以，其中，且， 所以的取值范围为， 故选：B. 9.（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】 先利用正弦定理将角化为边，然后利用余弦定理结合基本不等式求解即可. 【详解】 ，则原等式为，由正弦定理得， ，当且仅当时取等号． 故答案为：. 10．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则的面积为______． 【答案】 【分析】 根据，结合，利用正弦定理得到，进而求得，再利用余弦定理，结合，求得a，b，c求解. 【详解】 解：因为， 所以,又， 所以，因为是锐角三角形， 所以， 由余弦定理得， 即，解得， 又，则， 所以的面积为， 故答案为： 11.（2022·广东深圳·高三阶段练习）在中，，的内切圆的面积为，则边长度的最小值为（       ） A．16 B．24 C．25 D．36 【答案】A 【分析】 由条件可求内切圆半径，根据内切圆的性质和三角形的面积公式可得三边关系，结合基本不等式可求边长度的最小值. 【详解】 因为的内切圆的面积为，所以的内切圆半径为4．设内角，，所对的边分别为，，．因为，所以，所以．因为，所以．设内切圆与边切于点，由可求得，则．又因为，所以．所以．又因为，所以，即，整理得．因为，所以，当且仅当时，取得最小值． 故选：A． 12．（2022·全国·高三专题练习）在锐角中，若，且，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由，可得；再结合正弦定理将中的角化边，化简整理后可求得；根据锐角和，可推出，，再根据正弦定理可得，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解． 【详解】 由，得，， ，．由题，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故，，又锐角，且，，，解