专题07 数列（亮点讲）-【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习课件与检测（新高考专用）

【过高考】2023年高考数学大一轮单元复习 专题07 数列 知识回顾 一、数列的概念及性质： 1.数列及其有关概念 (1)按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项……排在第n位的数称为这个数列的第n项. (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}. 2. 数列的通项公式： 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个通项公式. 3. 数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，… 4. 递推公式 如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)(n≥2)间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式. 【温馨提示】：(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式. (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换n，就可以求出数列的各项. (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项. 5. 数列的表示方法：(1)列举法： （2） 图象法：数列可用一群孤立的点表示； （3） 解析法（公式法）：通项公式或递推公式. 6. 数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点. 7. 数列的前项和和通项的关系：. 8. 数列的性质 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到 大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，数列具备单调性时，可以探讨数列的增减性与最大、最小项，以及和的最大与最小值，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 二、等差数列（及前n项和）的相关概念及性质： （一）等差数列的有关概念 1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为或. 2.等差数列的通项公式：；. 说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列. 3.等差中项的概念： 定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 【温馨提示】1.等差数列的前和的求和公式：. 2.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． （二）等差数列的四种判断方法 1.定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列； 2.等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列; 3.通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列; 4.前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列; 5.是等差数列⇔是等差数列. （三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质： （1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……； （3）在等差数列中，对任意，，，； （4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，时，则，是的等差中项. （5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列. （6）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列． （7）若数列是等差数列,则仍为等差数列． 2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①； ② ； （Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①(中间项)； ②. 3.,则,. 4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数． 5.若与为等差数列，且前项和分别为与，则. 6. 等差数列的增减性：时为递增数列，且当时前n项和有最小值．时为递减数列，且当时前n项和有最大值． 7. 最值问题： （1）利用等