3.1 不等式的基本性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

3.1 不等式的基本性质 一、比较实数a、b的大小 1、文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 2．符号表示：；； 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 三、比较两个实数（或代数式）大小 1、作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法． ①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论． ②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论． 2、介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性： 若a＞b，b＞c，则a＞c；若a＜b，b＜c，那么a＜c．其中b是介于a与c之间的值， 此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值． 【注意】 （1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止。 题型一 利用不等式的性质判断大小 【例1】如果，那么（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列命题中，正确的是（ ） A．若，， 则 B．若， 则 C．若，， 则 D．若，则 【变式1-2】（多选）若，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则< 【变式1-3】（多选）已知实数满足，且，则（ ） A． B． C． D． 题型二 作差法比较代数式的大小 【例2】已知，，，则的大小关系为（ ） A． B． C． D．无法确定 【变式2-1】若，，则与的大小关系为（ ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-2】已知a，b为不相等的实数，记，则M与N的大小关系为（ ） A． B． C． D．不确定 【变式2-3】（多选）若，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-4】比较两代数式与的大小 题型三 作商法比较代数式的大小 【例3】设x，y为正数，比较与的大小. 【变式3-1】若，求证：. 【变式3-2】已知，试比较与的大小. 【变式3-3】设，试比较与的大小. 题型四 利用不等式求值或取值范围 【例4】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】若实数x，y满足且，则的取值范围是_____________. 【变式4-2】已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式4-3】设，且，求的取值范围. 题型五 由不等式的性质证明不等式 【例5】已知，且，求证：． 【变式5-1】证明不等式： （1）设，求证：； （2）设，求证：. 【变式5-2】证明下面的结论： （1）如果，，且，那么； （2）如果，，那么； （3）如果，，那么； （4）如果，，，那么. 【变式5-3】（1）设，，证明：； （2）设，，，证明：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 不等式的基本性质 一、比较实数a、b的大小 1、文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 2．符号表示：；； 二、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd