第06讲 圆与方程-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第二章 圆与方程 第01讲 圆的方程 ( 目标导航 ) 课程标准 重难点 1.掌握圆的定义及标准方程; 2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程. 3.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小. 1. 圆的标准方程与一般方程的转化 2. 圆成立的条件 ( 知识精讲 ) 知识点01 圆的标准方程 1.圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合 叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)圆的要素：确定圆的要素是圆心和半径，如图所示． (3)圆的标准方程:圆心为,半径为的圆的标准方程是. 圆心在坐标原点,半径为的圆的标准方程是. 【即学即练1】 圆心为，半径为的圆的方程是___________. 【答案】 【解析】因为圆心为，半径为，所以圆的标准方程为：， 故答案为：. 【即学即练2】顶点坐标分别为，，．则外接圆的标准方程为______． 【答案】 【解析】 设圆的标准方程为，因为过点，， 所以 解得 则圆的标准方程为故答案为： 【即学即练3】根据下列圆的方程，写出各圆的圆心和半径： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)圆心为，半径为5； (2)圆心为，半径为； (3)圆心为，半径为； (4)圆心为，半径为3. 【解析】(1)解：因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为5； (2)解：因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为； (3)解：因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为； (4)因为圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为3. 知识点02 圆的一般方程 1.圆的一般方程 叫作圆的一般方程. 由此可得圆心,半径. 注意: (1)当时,方程表示圆.圆心为,半径为; (2)当时,方程表示一个点 ; (3)当时,方程没有实数解,它不表示任何图形(没有轨迹). 2.几种特殊位置的圆的方程 条件 标准方程 一般方程 圆心在原点 过原点 圆心在轴上 圆心在轴上 与轴相切 与轴相切 与,轴都相切 圆心在轴上且过原点 圆心在轴上且过原点 【即学即练4】 圆的圆心坐标和半径长依次为（       ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】圆化为标准方程为,所以圆心坐标为，半径为.故选：D. 【即学即练5】 已知方程表示一个圆，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，方程，变形为，当且仅当，即时，原方程表示圆，解得，则的取值范围为．故选：A. 【即学即练6】已知，，，则的外接圆的一般方程为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设外接圆的方程为：，由题意，得解得即的外接圆的方程为．故选：C 【即学即练7】方程表示的图形是半径为的圆，则该圆圆心位于（       ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】 方程 表示的图形是半径为的圆， ，求得， 故圆心，在第四象限，故选：D． 知识点03 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系分三种:点在圆上,点在园内,点在圆外. 圆的标准方程为,圆心为,半径为;圆的一般方程为 .平面内一点. 位置关系 判断方法 几何法 代数法(标准方程) 代数法(一般方程) 点在圆上 点在圆内 点在圆外 【即学即练8】已知圆的方程是，则点（       ） A．在圆心 B．在圆上 C．在圆内 D．在圆外 【答案】C 【解析】 因为，所以点P在圆内．故选：C． 【即学即练9】两个点、与圆的位置关系是（       ） A．点在圆外，点在圆外 B．点在圆内，点在圆内 C．点在圆外，点在圆内 D．点在圆内，点在圆外 【答案】D 【解析】 将代入方程左边得，则点在圆内， 将代入方程左边得，则点在圆外， 故选：D. 【即学即练10】已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意，表示圆,故，即或 点A（1，2）在圆C：外故，即 故实数m的取值范围为或,即.故选：A 【即学即练11】若点在圆的内部，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 因为点在圆的内部，则，解得：.故选：D. 知识点04 求圆的轨迹方程 轨迹方程是指动点的坐标满足的关系式, 求轨迹方程即求与,有关的等式. 求轨迹方程常用的方法有:直接法;定义法;代人法. 1. 直接法 它可分为五个步骤:(1)建系,(2)找出动点满足的条件,(3)用等