专题55 一类貌似神离的不等式求最值-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题55 一类貌似神离的不等式求最值 【方法点拨】 1.已知，求的最值型（其中、、、均为正数）. 此类问题应归结为“知和求和”型，解决的策略是利用常数代换，即将“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解；也可用“权方和不等式”求解. 2.已知，求的最值型. 此类问题应采取“强分”的方法，即将分解为，然后直接使用基本不等式求解为最简单途径. 说明:关键要分清题设的条件的不同，根据不同的“结构特征”寻找解题的突破口，决不要“张冠李戴”. 【典型题示例】 例1 已知，求的最小值. 【答案】 【解析一】对两边同时除以得 （等号成立条件略） 即的最小值. 【解析二】（权方和不等式）对两边同时除以得 所以 所以（等号成立条件略） 即的最小值. 说明： 1. 已知，则有：（当且仅当时，等号成立）.上式称为二元变量的权方和不等式，用于“知和求和型”求最值. 2. 此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定. 例2 已知，求的最小值. 【解析】因为 所以 所以， 即. 说明： 此类问题还可以通过消元以达到减元的目的来求解，由，再代入到所求表达式，求出最值即可，但要注意的范围需由缩定 . 【巩固训练】 1.已知正实数满足，则的最小值为__________ 2. 已知，，则的最小值为 . 3.如图，已知三角形 ABC 中，AB ＝1，AC ＝ 2 ，若点 M 为线段 BC 的三等分点(靠近 B 点)，则的最小值为 　　 ． 　　 4．已知a＞0，b＞0，且则的最小值是 ． 5.已知x＞1，y＞1，则的最小值是 ． 6.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 7.已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是 ． 8. 已知正数满足，则的最小值为 . 9.已知，则的最小值为 . 10.已知正实数x，y满足x+y＝xy，则的最小值是　 　． 11.已知a＞0，b＞0，且，则的最小值是 ． 【答案与提示】 1.【答案】 【提示】由强分即可. 2.【答案】 【提示】权方和不等式立得，或换元等. 3.【答案】 【解析】，， . 4.【答案】 【解析】,当，即时，等号成立． 5.【答案】8 【解析】令 当，即，两个等号同时成立． 6.【答案】 【解析】 当，即，． 7.【答案】：9 【解析】∵x＞1，y＞1，xy＝10， ∴，且 ∴，当且仅当时取“＝”． 8.【答案】 【解析】 当且仅当，等号成立. 9.【答案】 【解析】 当且仅当时,等号成立. 10.【答案】15 【解析】x+y＝xy可化为， . 11.【答案】 【解析】 当，即，． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $