2.3 全称量词命题与存在量词命题-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

2.3 全称量词命题与存在量词命题 一、全称量词与全称量词命题 1、全称量词：“任意”“所有”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中全体称为全称量词， 通常用用符号“x”表示“对任意x”． 【注意】（1）全称量词的数量可能是有限的，也可能是无限的，由有题目而定； （2）常见的全称量词还有“一切”、“任给”等，相应的词语是“都” 2、全称量词命题：含有全称量词的命题，称为全称量词命题． 对集合M中的任意一个x，成立（M表示变量x的取值范围）， 符号表示为：． 【注意】（1）从集合的观点看，全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题； （2）一个全称量词命题可以包含多个变量； （3）有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需要把它补出来。 如：命题“平行四边形对角线互相平行”理解为“所有平行四边形对角线都互相平行”。 二、存在量词与存在量词命题 1、全称量词：一般地，“存在”“有”“至少有一个”在陈述句中表示所述事物的个体或部分， 称为全存在量词，用符号“”表示． 【注意】常见的存在量词还有“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”等； 2、存在量词命题：含有存在量词的命题，称为存在量词命题． 存在集合M中的元素x，成立（M表示变量x的取值范围），简记为：． 【注意】（1）从集合的观点看，存在量词命题是陈述某集合中有一些元素具有某种性质的命题； （2）一个存在量词命题可以包含多个变量； （3）有些命题虽然没有写出存在量词， 但其意义具备“存在”、“有一个”等特征的命题都是存在量词命题 三、全称量词命题与存在量词命题的真假判断 1、判断全称量词命题真假： 若为真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素，验证成立； 若为假命题，只要能举出集合M中的一个，使不成立即可； 2、判断存在量词命题真假： 只要在限定集合M中，至少能找到一个，使成立， 则这个命题为真，否则为假。 四、命题的否定 1、命题的否定：对命题p加以否定，得到一个新的命题，记作“”，读作“非p”或p的否定． 2、全称量词命题的否定： 一般地，全称量词命题“”的否定是存在量词命题： ． 3、存在量词命题的否定： 一般地，存在量词命题“ ”的否定是全称量词命题： ． 4、命题与命题的否定的真假判断： 一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假． 即：如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定是假命题，反之亦然． 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 【例1】下列命题是全称量词命题的是（ ） A．有些平行四边形是菱形 B．至少有一个整数，使得是质数 C．每个三角形的内角和都是180° D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得到答案. 【解析】根据全称量词和存在量词命题的定义可知， A，B，D是存在量词命题，C是全称量词命题．故选：C. 【变式1-1】下列命题中全称量词命题的个数为（ ） ①正方形的对角线互相平分； ②平行四边形有两组对边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称量词命题， ③含有“存在”，是存在量词命题.故选：C 【变式1-2】（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（ ） A．至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立 B．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0成立 C．对任意的x都有x2＋2x＋1＝0不成立 D．存在x使x2＋2x＋1＝0成立 【答案】BC 【解析】A和D用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题， B和C用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题， ∴B、C是全称量词命题.故选：BC. 【变式1-3】下列命题不是存在量词命题的是（ ） A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个m使与异号 【答案】B 【解析】选项A、C中“有些”是存在量词， 选项D中“有一个”是存在量词， 选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．故选：B． 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假 【例2】下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B．∃x∈N，2x为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 【答案】C 【解析】对A，是全称量词命题，但不是真命题(当时结论不成立），故A不正确； 对B，是真命题(当时即为偶数)，但不是全称量词命题，故B不正确； 对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确； 对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确，故选：C. 【变式2-1】下列命题是全称量词