第一章 1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定

学习目标　1.掌握命题的否定的概念，能够对一个命题进行否定.2.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

知识点一　命题的否定

1．定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”．

2．命题p与其否定綈p的真假关系．

如果一个命题是真命题，那么这个命题的否定就是一个假命题；反之亦然．

知识点二　含量词的命题的否定

 

思考　用自然语言描述的全称量词命题的否定形式唯一吗？

答案　不唯一，如“所有的菱形都是平行四边形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不是平行四边形”．

1．命题与命题的否定的真假相反．(　√　)

2．∃x∈M，p(x)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(　√　)

3．“任意x∈R，x2≥0”的否定为“∃x∈R，x2<0”．(　√　)

4．“∃x∈R，|x|＝x”是假命题．(　×　)

一、全称量词命题的否定

例1　写出下列全称量词命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)任何一个圆都是轴对称图形；

(3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

解　(1)其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行．

(2)其否定为：存在一个圆不是轴对称图形．

(3)其否定为：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在．

(4)其否定为：存在被5整除的整数，末位不是0.

反思感悟　全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的命题可补上全称量词后进行否定．

跟踪训练1　写出下列全称量词命题的否定：

(1)p：每一个三角形的三个顶点共圆；

(2)q：所有自然数的平方都是正数；

(3)s：任何实数x都是方程5x－12＝0的根；

(4)r：对任意实数x，x2＋5≥0.

解　(1)綈p：存在一个三角形，它的三个顶点不共圆．

(2)綈q：有些自然数的平方不是正数．

(3)綈s：存在实数x不是方程5x－12＝0的根．

(4)綈r：存在实数x，使得x2＋5<0.

二、存在量词命题的否定

例2　写出下列命题的否定：

(1)有些四边形有外接圆；

(2)某些平行四边形是菱形；

(3)∃x∈R，x2＋1<0.

解　(1)所有的四边形都没有外接圆；

(2)所有平行四边形都不是菱形；

(3)∀x∈R，x2＋1≥0.

反思感悟　对存在量词命题进行否定时，首先把存在量词改为全称量词，然后对判断词进行否定，可以结合命题的实际意义进行表述．

跟踪训练2　写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假：

(1)有些实数的绝对值是正数；

(2)∃x，y∈Z，使得x＋y＝3.

解　(1)命题的否定：“所有实数的绝对值都不是正数”．由于|－2|＝2，因此命题的否定为假命题．

(2)命题的否定：“∀x，y∈Z，x＋y≠3”．

∵当x＝0，y＝3时，x＋y＝3，

∴命题的否定是假命题．

三、全称量词命题、存在量词命题的否定的综合应用

例3　已知命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．

解　因为綈p为假命题，所以命题p：∀x∈R，m＋x2－2x＋5>0为真命题，即二次函数y＝x2－2x＋m＋5的图像恒在x轴上方，所以Δ＝(－2)2－4(m＋5)<0，即m>－4，故实数m的取值范围为{m|m>－4}．

延伸探究

如果把本例改成：已知命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0，若綈p为假命题，求实数m的取值范围．

解　因为綈p为假命题，所以命题p：∃x∈R，m－x2＋2x－5>0为真命题，即二次函数y＝－x2＋2x＋m－5的图像的最高点在x轴上方，即图像与x轴有两个交点，所以Δ＝22＋4(m－5)>0，即m>4，故实数m的取值范围为{m|m>4}．

反思感悟　(1)注意p与綈p的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化．

(2)对求参数范围问题，往往分离参数，转化成求函数的最值问题．

 

跟踪训练3　(1)已知命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．

答案　

解析　方法一　若命题p：∃x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2≤0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－4a2≥0，

即－2a＋1≥0，∴a≤.若命题p是假命题，则a>.

方法二　依题意，命题綈p：∀x∈R，x2＋2(a－1)x＋a2>0是真命题，得Δ＝4(a－1)2－