第一章 1.2.1 命题与量词-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教B版）(京鲁辽）

§1.2　常用逻辑用语

1.2.1　命题与量词

学习目标　1.掌握命题的概念，能对命题进行真假判断.2.理解全称(存在)量词、全称(存在)量词命题的定义.3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假．

知识点一　命题的概念

知识点二　全称量词和存在量词

 

1．“这盆花长得太好了！”是命题．(　×　)

2．全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　√　)

3．全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　×　)

4．在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．(　×　)

一、全称量词命题与存在量词命题的辨析

例1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

(1)自然数的平方大于或等于零；

(2)存在实数x，满足x2≥2；

(3)有些平行四边形的对角线不互相垂直；

(4)存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．

解　(1)是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.

(2)是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.

(3)是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直．

(4)是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．

反思感悟　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤

(1)判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．

(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．

(3)当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

跟踪训练1　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题：

(1)不等式x2＋x＋1>0恒成立；

(2)有的一次函数图像经过原点；

(3)所有的二次函数的图像的开口都向上．

解　(1)全称量词命题．表示为∀x∈R，x2＋x＋1>0.

(2)存在量词命题．∃一次函数，它的图像过原点．

(3)全称量词命题．∀二次函数，它们的图像的开口都向上．

二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例2　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；

(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；

(3)对任意实数a，b，若a<b，都有a2<b2；

(4)存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.

解　(1)(3)是全称量词命题，(2)(4)是存在量词命题．

(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．

(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．

(3)存在a＝－5，b＝－3，a<b，但(－5)2>(－3)2，所以该命题是假命题．

(4)由于x∈R，则x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．

反思感悟　全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

(1)要判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

(2)判断存在性命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p(x0)成立，则该命题是假命题．

跟踪训练2　判断下列命题的真假．

(1)∀x∈R，x2＋1>0；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)∀x∈N，x2>0.

解　(1)因为x2＋1≥1>0，

所以命题是真命题．

(2)真命题，如梯形．

(3)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题．

三、由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数

例3　已知命题“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

解　∵“∀x∈[1,2]，2x－1－m≥0”成立，

∴2x－1－m≥0在x∈[1,2]上恒成立．

又y＝2x－1－m在[1,2]上的最小值为1－m.

∴1－m≥0.解得m≤1.

∴实数m的取值范围是(－∞，1]．

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