第11、12节 探究函数的极值与函数的最值研究-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 12 节 函数的最值研究 函数极值反映的是函数的局部性质，而函数的最值体现的是函数图象的最高点或最低点所对应的函数 值，关注的是函数的全局． 关于函数的最值，在教材中有这样的结论：如果函数 的图象在 是连续的，则函数在 内 的所有极值和端点值 中的最大者就是函数的最大值，而它们的最小者是函数的最小值．这为研 究连续函数的最值提供了明晰的研究方向．但对于函数图象断开的情形，则必须根据函数图象作进一步的 研究． 【实验 1】研讨三次函数在闭区间上的最值 若 ，试研究 在 上的最值． 【探究步骤】 1.作出 在 上的图象，并设置为虚线； 2.作出 在 上的图象，并设置为实线加粗，颜色设置为红色； 3.作出 在 上的图象，并设置为实线加粗，颜色设置为蓝色； 4.拉动滑杆a，观察随着a值的改变， 在 最值的变化情况． 经实验观察，得到： （1）当 时， 为 的增函数，其最小值为 ，最大值为 ； （2）当 时， 将在极小值点处取得最小值，最大值为 ； （3）当 时， 将在极小值点处取得最小值，最大值为 ； （4）当 时， 为 的减函数，其最小值为 ，最大值为 ． 以上观察结论是否正确，通过求解加以验证． （1）若 为 的增函数，则 对任意的 恒成立，变形得 在 恒成立，从而 ．故当 时， 为 的增函数，最小值为 ， 最大值为 ； （2）若 为 的减函数，则 对任意的 恒成立，变形得 )(xf  ba,  ba, )(),( bfaf xaxxxf  23)( )(xf  21， xaxxxf  23)( R xaxxxf  23)(  21， 123)(' 2  axxxf  21， )(xf  21， 2a )(xf  21， af  2)1( af 410)2(  26.2  a )(xf af 410)2(  6.23.3  a )(xf af  2)1( 3.3a )(xf  21， af 410)2(  af  2)1( )(xf  21， 0123)(' 2  axxxf  2,1x ) 1 3(2 x xa   21， 2a 2a )(xf  21， af  2)1( af 410)2(  )(xf  21， 0123)(' 2  axxxf  2,1x 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 在 恒成立，从而 4 13 a ．故当 4 13 a 时， 为 的减函数，最小值为 ，最大值为 ； （3）当 2 4 13  x 时，由 得 ，且 时， ， 当 时， ．从而可得 在 单调递减，在 单调递增．由 得 ． ①当 时， ，此时 的极小值为 ，最大值为 ； ②当 时， ，此时 的极小值为 ，最大值为 ． 【实验 2】函数最值综合研究 【探究问题 1】求函数 在 上的最大值和最小值． 要研讨 的最值，最直接的方式就是作出函数 的图象，而后再进行定量求解．而作图是所有 动态画板的长项．本例中，只需在指令栏输入“函数 ]2/,0,)cos(*^[ pixxxe  ”就可以得到函数图象．根据 图象可以发现 在 单调递减，从而得到 在 取得最大值１，在 时取得最小值， 最小值的具体数值无法估读． 若要从数学推理上得到答案，反而更复杂一些． 在 单调递减， 又 对于任意的 恒成立 在 单调递减，从而得到 在 取得最大值１，在 时取得最小值 ． ) 1 3(2 x xa   21， )(xf  21， af 410)2(  af  2)1( 0)(' xf  2,1 3 32 0    aa x  0,1 xx 0)(' xf  20，xx 0)(' xf )(xf ),1( 0x )2,( 0x )2()1( ff  3 8 a 3 8 4 13  a )1()2( ff  )(xf )( 0xf af  2)1( 2 3 8 － a )1()2( ff  )(xf )( 0xf af 410)2(  xxexf x  cos)(     2 ,0  )(xf )(xf )(xf     2 ,0  )(xf 0x 2  x 1sincos)('cos)(  xexexfxxexf xxx xexexexexexf xxxxx sin2cossinsincos)('' 