新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 5：函数迭代

高中强基计划培优生专题讲座5：函数迭代 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 [基础知识] 1．函数迭代的概念 设 ， 是已知函数，且复合函数 有意义，我们就记 ＝ 这称为函数的迭代运算（可读作 圈 ）．（以下的讨论中，总假定写出的复合函数有意义）． 2．函数的 次迭代 一般地，定义 ＝ ＝ （共 个 ） 称为函数 的 次迭代， 称为迭代指数．此外，还规定 ＝ ； ＝ ． （1） 若 ； （2） 若 ； （3） 若 ； （4） 若 ，等等。 [典型例题] （1） 直接迭代法 对于一些较简单的函数可采用直接迭代法，即先迭代几次，观察其规律，然后猜测出 的表达式，最后用数学归纳法证明． 例1、求下列函数的 次迭代： (1) (2) (3) (4) （5） （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 ； （4）若 ，则 ； （5）若 （ ），则 ； 例2、设f(x)定义在正整数集上，且f(1)=1,f(x＋y)=f(x)＋f(y)＋xy。求f(x) 解：令y=1，得f(x＋1)=f(x)＋x＋1 再依次令x=1，2，…，n－1，有 f(2)=f(1)＋2 f(3)=f(2)＋3 …… f(n－1)=f(n－2)＋(n－1) f(n)=f(n－1)＋n 依次代入，得 f(n)=f(1)＋2＋3＋…＋(n－1)＋n= ∴f(x)= (x∈N+) （二）数学归纳法 这个方法的基本思想是逐次计算 从中寻求规律。猜出 的表达式，再用数学归纳法给出证明。 例3 设 ，求 。 解： ； 由此猜想 ： EMBED Equation.3 证明：当 时，结论是成立的。 假设当 时，结论也成立，即 ,那么 当 时， = EMBED Equation.3 = 即当 时，结论也成立。这就证明了对任意正整数 式都成立。 例4、(07江西)设 ，又记 则 （ ） 、 ； 、 ； 、 ； 、 ； 答案： ；解： ， ，据此， ， ，因 为 型，故选 . 例5、（09全国）若函数 ，且 ，则 ． 例6、已知f(1)= 且当n＞1时有 。求f(n) (n∈N+) 解：把已知等式（递推公式）进行整理，得 f(n－1)－f(n)=2(n＋1)f(n)f(n－1) ∴ EMBED Equation.3 =2(n＋1) 把n依次用2，3，…，n代换，得 － =2×3 － =2×4 …… EMBED Equation.3 =2(n＋1) 上述(n－1)个等式相加，得 EMBED Equation.3 =2[3＋4＋…＋(n＋1)]=(n－1)(n＋4) ∴ = ＋(n－1)(n＋4)=n2＋3n＋1 ∴f(n)= . 例7、设函数 ＝ 是 上的严格增函数，并且 ＝ ，求证： ＝ ． 【证明】（反证法）若存在 EMBED Equation.3 ，使得 ≠ ，不妨设 ＞ ，则由 的单调性，有 ＞ 另外 由 ＝ ， 得 ＝ ＝ 从而 ＞ 与假设 ＞ 矛盾， 故 对于任意 EMBED Equation.3 ，都有 ＝ ． 注：若 ，则称 是 的一个不动点。 例8、 定义域为正整数集的函数 满足 ＝ ，求 ． 【解】设 ＝ ， ＝ ＝1，2，…，则 ＝ ＝ ＝…＝ ＝ ， 因为 ＝997， ＝ ＝ ＝ ＝998， ＝ ＝ ＝ ＝999， ＝ ＝ ＝ ＝1000， ＝ ， 所以 是以4为周期，循环取997，998，999，1000． 又 131＝32×4＋3，所以 ＝ ＝ ＝999． 例9、 设 ＞1， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，求证： ＞ EMBED Equation.3 ． 【证明】设 ＝ － EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ),则 ＝ － EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , 所以 － ＝ ＞0， 因此 当 ＞1， ≥2时，有 ＞ ． 又 ＝ － EMBED Equation.3 ＝1