第9、10节 导数的几何意义探究与利用导数研究函数的单调性-【触摸数学】GeoGebra高中数学实验探究与应用教程

原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 第 10 节 利用导数研究函数的单调性 导数作为研究函数的重要工具，在函数研究的诸多方面都有着重要作用，探究函数单调性就是其中重 要应用之一，其中尤以研究含参函数的单调性最为常见．本节，将对此展开研讨． 【实验 1】研讨函数单调性与导数的关系 【探究步骤】 1.在 GGB 中作出函数 的函数图象； 2.令 ，把函数式化简为 ； 3.在 图象上任取一点 ，作出函数在该点处的切线.根据上节研究结果可知：函数在 点 处的切线斜率即为函数在 处的导数； 4.拉动点 A，观察可以发现：在 的单调递减区间 的任意一点，其切线斜率均小于 0， 即对于 内任意的 ，都有 ；而对于它的增区间 的任意一点，其切线斜率均大于 0， 即对于 内任意的 ，都有 ． 由上述实验结果，可以得出以下结论： 设函数 的导函数为 ，在某个区间 内，如果 ，那么函数 在这个区间内 单调递增；如果 ，那么函数 在这个区间内单调递减，反之也成立． 以上判断揭示了导函数的正负和原函数单调性之间的关系，也为研究函数单调性提供了另一重要途径． 【说明】 为了使函数的单调性与导数的符号关系更加明显，可以在原有的基础上增加以下步骤． 【探究步骤】 1.测量函数在点 A处的切线斜率m； 2.在 GGB 课件中添加以下文本“函数在点 A处的切线斜率 ”，然后在文本输入框的“对象”点击黑小角， 找到m，得到“函数在点 A处的切线斜率 m ”； 3.在这行文本后另建文本，内容为“ 0 ”，在文本属性中设置显示条件为“ 0m ”； 122  axxy 0a 12  xy 12  xy ),( 00 yxA ),( 00 yxA 0xx  12  xy  0,  0, 0x 0' 0 xxy  ,0  ,0 0x 0' 0 xxy )(xf )(' xf  ba, 0)(' xf )(xf 0)(' xf )(xf 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 2 4.在文本“ 0 ”的同一位置，另建文本“ 0 ”，显示条件为“ 0m ”． 这样当拉动点 A时，文本将直接显示函数在点 A处的切线斜率，并自动判断斜率的符号． 【实验 2】利用导数研究函数单调性初探 对于任务一中的函数 ，研讨以下问题： （1）若 在区间 恒为增函数，求参数a的取值范围； （2）若 在区间 恒为减函数，求参数a的取值范围； （3）若 在区间 既有增区间，又有减区间，求参数a的取值范围． 【方案 1】 研究时，可拉动滑杆a，改变参数a的值，从而改变函数对称轴的位置．经过研究，可以发现： （1）当函数图象对称轴 在区间 的左侧，即 时， 在 单调递增； （2）当函数图象对称轴 在区间 的右侧，即 时， 在 单调递减； （3）当函数图象对称轴 在区间 内，即 时， 在 既有增区间，也有减区 间． 【方案 2】 由 得 ，而函数 的单调性与它的导函数 的符号有关．本 题可研究函数 在区间 的符号． 【探究步骤】 1.在 GGB 的第二页面作出函数 的图象，设置线型为虚线； 2.在指令栏输入“函数 ]2,0,22[ ax  ”，得到函数 的图象，把图象适当加粗，并设 置颜色为红色； 3.拉动滑杆a，观察可得： （1）当 时， 图象恒在 轴的上方， 恒大于 0，即函数 在 恒为增函数； 12)( 2  axxxf )(xf )2,0( )(xf )2,0( )(xf )2,0( ax  )2,0( 0a )(xf )2,0( ax  )2,0( 2a )(xf )2,0( ax  )2,0( 20  a )(xf )2,0( 12)( 2  axxxf axxf 22)('  )(xf )(' xf )(' xf )2,0( axxf 22)('  )20(22  xaxy 0a )20(22  xaxy x )(' xf )(xf )2,0( 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 3 （2）当 时， 图象部分在 轴的上方，部分在 轴的下方，即当 时， 有正有负，即函数 在 既有增区间，也有减区间； （3）当 时， 图象恒在 轴的下方， 恒小于 0，即函数 在 恒为减函数． 【实验 3】研究三次函数的单调性 对于三次函数 ，其单调性相对于【实验 2】的二次函数要复杂得多， 应用 GGB 课件对这个问题作详细研究．为了研究方便，先设定 ，因为参数 d 并不影响函数的单调性， 为简化处理，设 ，把函数式化简为 ． 【探究步骤】