第二章提升课　基本不等式-(教师word)2021-2022学年高一新教材数学必修第一册【步步高】学习笔记（人教A版)（京津鲁琼辽粤浙渝鄂冀湘云晋皖黑吉桂）

提升课　基本不等式 学习目标　1.掌握利用基本不等式求最值的方法.2.能构造基本不等式的形式求代数式的最值问题.3.会利用基本不等式解决生活中的实际问题． 一、分离消元法求最值 例1　已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值． 解　由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，因为x>0，y>0，所以0<x<8. 所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4， 当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立． 所以x＋2y的最小值为4. 延伸探究　已知x>0，y>0，满足xy＝x＋y＋3，求xy的最小值． 解　由题意可知y＝， 所以xy＝x·＝＝＝x－1＋＋5≥2＋5＝9， 当且仅当x－1＝，即x＝3时等号成立． 所以xy的最小值为9. 反思感悟　含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题． 跟踪训练1　已知a>0，b>0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为________． 答案　5＋2 解析　由2a＋b＝ab－1，得a＝， 因为a>0，b>0，所以a＝>0，b＋1>0，所以b>2， 所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－2)＋4＝2(b－2)＋＋5≥2＋5＝5＋2， 当且仅当2(b－2)＝，即b＝2＋时等号成立． 所以a＋2b的最小值为5＋2. 二、利用基本不等式求参数的值或取值范围 例2　已知4x＋(x>0，a>0)在x＝3时取得最小值，则a的值为________． 答案　36 解析　4x＋≥2＝4， 当且仅当4x＝，即x＝＝3时，等号成立， ∴a＝36. 反思感悟　求参数的值或取值范围的一般方法 (1)分离参数，转化为求代数式的最值问题． (2)观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或取值范围． 跟踪训练2　已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 答案　B 解析　因为a>0，b>0，所以2a＋b>0， 所以要使＋≥恒成立， 只需m≤(2a＋b)恒成立， 而(2a＋b)＝4＋＋＋1≥5＋4＝9， 当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9. 三、基本不等式的综合运用 例3　已知a>0，b>0，求＋＋2的最小值． 解　∵a>0，b>0， ∴＋＋2≥2＋2 ≥4＝4， 当且仅当a＝b＝1时，等号成立． 反思感悟　多次使用基本不等式时，一定要保证几次等号成立的条件能同时成立，要善于发现“定值”，在使用时可采用拼凑法、换元法、常数代换等方法． 跟踪训练3　设a>0，b>0，a＋b＝5，求＋的最大值． 解　设＝m，＝n， ∴m>0，n>0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9. 由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)， 即(m＋n)2≤18， ∴m＋n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立， 即＋的最大值为3. 1．知识清单： (1)分离消元法求最值． (2)利用基本不等式求参． (3)基本不等式的综合运用． 2．方法归纳：消元法、换元法、拼凑法． 3．常见误区：在同一个题目多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否一致． 1．下列等式中最小值为4的是(　　) A．y＝x＋ B．y＝2t＋ C．y＝4t＋(t>0) D．y＝t＋ 答案　C 解析　A中x＝－1时，y＝－5<4； B中t＝－1时，y＝－3<4； C中y＝4t＋≥2＝4， 当且仅当t＝时，等号成立； D中t＝－1时，y＝－2<4. 2．已知x>0，y>0，＋＝1，则使不等式x＋y≥m恒成立的实数m的取值范围是(　　) A．m≥18 B．m≤18 C．m≥16 D．m≤16 答案　D 解析　因为x>0，y>0，＋＝1， 所以(x＋y)＝1＋＋＋9≥10＋2＝16， 当且仅当＝， 即时，等号成立； 又不等式x＋y≥m恒成立， 所以只需m≤16. 3．当x>0时，y＝有(　　) A．最小值1 B．最大值1 C．最小值2 D．最大值2 答案　B 解析　因为x>0， 所以y＝＝≤＝1， 当且仅当x＝， 即x＝1时，等号成立． 即y＝有最大值1. 4．若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值是________． 答案　 解析　因为a，b都是正数，且a＋b＝1， 所以(a＋1)(b＋1)≤2＝， 当且仅当a＋1＝b＋1， 即a＝b＝时，等号成立． 课时对点练 1．下列命题中，正确的是(　　) A．x＋的最小值是4 B.＋的最小值是2 C．如果a>b，c>d，那么a－c>b－d D．如果ac2>bc2，那么a>b 答案　D 解析　选项A中，若x<0，则无最小值，所以错误； 选项B中