专题3 第1讲 等差数列、等比数列-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

第1讲　等差数列、等比数列 [考情分析]　1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列的综合问题是高考考查的重点． 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 核心提炼 等差数列、等比数列的基本公式(n∈N*) (1)等差数列的通项公式：an＝a1＋(n－1)d. (2)等比数列的通项公式：an＝a1·qn－1. (3)等差数列的求和公式：Sn＝＝na1＋d. (4)等比数列的求和公式：Sn＝ 例1　(1)(2021·淄博模拟)已知{an}为等比数列，Sn为其前n项和，若2S3＝a2＋a3＋a4，则公比q等于(　　) A. B. C．1 D．2 答案　D 解析　因为2S3＝a2＋a3＋a4， 所以2(a1＋a2＋a3)＝a2＋a3＋a4， 即2a1＋a2＋a3＝a4， 因为a1≠0，所以2＋q＋q2＝q3， 即(q－2)(q2＋q＋1)＝0， 因为q2＋q＋1≠0，所以q＝2. (2)(2021·吕梁模拟)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，满足a3＝3a1，a2＝3a1－1，则数列的前10项和为(　　) A. B．55 C. D．65 答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d，则 所以a1＝1，d＝1，所以Sn＝n＋＝， 所以＝，所以－＝－＝， 所以是以1为首项，为公差的等差数列， 数列的前10项和T10＝10＋×＝. 规律方法　等差数列、等比数列问题的求解策略 (1)抓住基本量，首项a1、公差d或公比q. (2)熟悉一些结构特征，如前n项和为Sn＝an2＋bn(a，b是常数)的形式的数列为等差数列，通项公式为an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的数列为等比数列． (3)由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在指数位置，所以常用两式相除(即比值的方式)进行相关计算． 跟踪演练1　(1)已知等比数列{an}的各项均为正数，且，，a2成等差数列，则等于(　　) A．9 B．6 C．3 D．1 答案　A 解析　设公比为q，由，，a2成等差数列， 可得＋a2＝， 所以＋a1q＝， 则q2－2q－3＝0，解得q＝－1(舍去)或q＝3. 所以＝＝q2＝9. (2)(2021·重庆一中检测)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲(水生植物名)生一日，长三尺；莞(植物名，俗称水葱、席子草)生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为(　　) (结果保留一位小数，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A．2.6 B．2.5 C．2.7 D．2.8 答案　A 解析　设蒲(水生植物名)的长度组成等比数列{an}，其中a1＝3，公比为，其前n项和为An.莞(植物名)的长度组成等比数列{bn}，其中b1＝1，公比为2，其前n项和为Bn. 则An＝，Bn＝， 令＝， 化为2n＋＝7， 解得2n＝6或2n＝1(舍去)． ∴n＝＝1＋≈2.6. ∴需2.6日蒲、莞长度相等． 考点二　等差数列、等比数列的性质 核心提炼 1．通项性质：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则对于等差数列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak，对于等比数列有aman＝apaq＝a. 2．前n项和的性质： (1)对于等差数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列；对于等比数列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列(q＝－1且m为偶数情况除外)． (2)对于等差数列，有S2n－1＝(2n－1)an. 例2　(1)(2021·崇左模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150，则S9等于(　　) A．225 B．250 C．270 D．300 答案　C 解析　等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝150， ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝150， 解得a5＝30, ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝270. (2)(2021·宜兴模拟)若等比数列{an}的前n项和为Sn，＝3，则等于(　　) A．3 B．7 C．10 D．15 答案　D 解析　因为等比数列{an}的前n项和为Sn，＝3，所以公比q≠1， 不妨令 S4＝1，则S8＝3， 所以 S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等比数列， 解得S12＝7，S16＝15， 所以＝15. 规律方法　等差数列、等比数列的性质问题的求解策略 (1)抓关系，抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手，选择恰当的性质进行求解． (2)用性质，数列是一种特殊的函数，