4.3.1 对数的概念-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第四章 指数函数与对数函数 4.3.1对数的概念 明学习目标 知结构体系 课标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念」 对数的定义 要求 2.会进行对数式与指数式的互化，会求简单的对数值， 对数的 常用对数与自然对数 重点 重点：对数的概念。 概念 指数式与对数式的互化 难点 难点：对数概念的理解与应用 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)对数的概念 ①log56=x;②log5x=6;③log6x=5;④log6 1.对数的定义 =5. 一般地，如果ar=N(a>0,且a≠1)，那么数2.使对数log。(-2a+1)有意义的a的取值范围 x叫做以a为底N的对数，记作 为 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 (二)对数与指数的关系、对数的性质 :1.对数与指数的关系 2.常用对数与自然对数 (1)若a>0,且a≠1，则ax=N→log N= 名称 定义 符号 (2)对数恒等式：alog.N logaa*= 常用 以10为底的对数叫做常 l1og1oN记为 (a>0,且a≠1，N>0). 对数 用对数 2.对数的性质 以e为底的对数叫做自然 (1)log 1= (a>0,且a≠1). 自然 对数，e是无理数，e= logeN记为 对数 (2)logaa= (a>0,且a≠1). 2.71828… (3)零和负数 [即学即练] [即学即练] 1.以下对数式中，与指数式5x=6等价的是 :1.若log3(2x-1)=0,则x= (填序号) 2.若log8=3,则x= 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一指数式与对数式的互化 /方法技巧/ [典例1]将下列指数式化为对数式，对数式化 1.指数式与对数式互化的方法 为指数式： (1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为 1)2-7-1282(） =16; 真数，指数作为对数，底数不变，写出对 (3)10g号27=-3；(4)1oga64=-6. 数式 听课记录 (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作 为幂，对数作为指数，底数不变，写出指 数式 2.指数式与对数式互化注意两点 (1)字母位置的改变，(2)对数式的书写要规 范(ab=N台→b=log N). 77 数学必修第一册 对点训练 /方法技巧/ 对数式中求值的基本思想和方法 把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式： (1)基本思想 (1)23=8;(2)e5=m:(3)27-寸= 3:(4)l0g39=2, 在一定条件下求对数式的值，或求对数式中参 数字母的值，要注意利用方程思想求解。 1 (5)lgn=2.3:(6)l0g381=-4. (2)基本方法 ①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数 问题. ②利用幂的运算性质和指数的性质计算， 对点训练 利用指数式、对数式的互化求下列各式中x 的值 (11og2x=-7;(2)l0g,25=2: 1 (3)l0g5x2=2;(4)21ogx=4. 题点二利用指数式与对数式互化求变量 [典例2]求下列各式中x的值. (1)1og64x=- (2)log8=6; (3)1g100=x;(4)-lne2=x; , 题点三利用对数的性质及对数恒等式求值 (61og-w3+2反 1 [典例3]求下列各式中x的值： (1)l0g2 (log5x)=0; 听课记录 (2)log3(1gx)=1; (3)x=7-log,5. 听课记录 78 第四章指数函数与对数函数 /方法技巧/ 对点训练 1.利用对数性质求解的2类问题的解法 (1)求多重对数式的值解题方法是由内到 求下列各式中的x的值， 外，如求log(logc)的值，先求logc的值， (1)log2(1og3x)=0; 再求loga(1ogbc)的值. (2)log5(1og2x)=1. (2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外 到内求，逐步脱去“log”后再求解. 2.性质alog N=N与logaa=b的作用 (1)al1og。N=N的作用在于能把任意一个正 实数转化为以a为底的指数形式. (2)logga=b的作用在于能把以a为底的 指数转化为一个实数 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知logn9=一2，则a的值为 ( )4.计算2og3+2log31-3log27+3ln1= A.-3 C.3 5.分贝是计量声音强度相对大小的单位，物理学 家引入了声压级(SPL)来描述声音的大小；把 2.下列指数式与对数式互化不正确的一组是 声压P。=2×10一5帕作为参考声压.把所要测 ( 量的声压P与参考声压P。的比值取常用对数 A.100=1与1g1=0 后乘以20得到的数值称为声压级，声压级是听 B.27寸-3与1og273=-3 1=-1 3 力学中最重要的参数之一，单位是分贝(B),分 C.1og9=2 与9=3 贝值在60以下为无害区，60~110为过渡区， 110以上为有害区. D.log55=1与51=5 (1)根据上述材料，列出分贝值y与声压P的函 3.(多选)有以下四个结论正确的是 数关系式为 A.lg(1g10)=0 (2)某地声压P=0.002帕，试问该地为以上所 B.In(In e)=0 说的 (填“无害”或“有害”)区？ C.若10=lgx,则x=10 温馨提示 请做课时分层检测（二十六） D.若e=lnx,则x=e2 4.3.2对数的运算 明学习目标 知结构体系 1.理解对数的运算性质，能进行简单的对数运算 课标 2知道对数的换底公式，能将一般对数转化为自然对数和常用对 要求 对数的运算性质 数，并能进行简单的化简、计算， 对数的运算 应 重点 重点：对数的运算性质 对数的换底公式 难点 难点：对数的运算性质的应用，对数换底公式的推导 794.3.1对数的概念 P 5.（1)y=201g(2)无害[1)根据题意汇典例3]解因为=1hn(1+M)） 必备知识·自主梳理 (一)1.x=logN底数真数2.1gN 可知，y=20lg户 In N =2000·1n1+M) (2)声压P=0.002,代入可得，y=20lg m 「即学即练] 0.002 所以u=2000·1n3≈2000×1.099 1.①2.（0,2 2×10-40,因为40<60，故属于无害区.] =2198(m/s). 故当燃料质量M为火箭质量m的两倍时， (二)1.(1)x (2)N x2.(1)0(2)1 4.3.2对数的运算 火箭的最大速度为2198m/s. (3)没有对数 [即学即练] :必备知识·自主梳理 对点训练 1.1 [若1og3(2x-1)=0,则2x-1=1,即 (一)(1)1ogM+logV (2)log M-log.N 1.C[由题意得子比较大时，公式的真数中 (3)nlog M(n∈R) x=1. 的1可以忽略不计.所以C1=W1og21000 2.2[由指对互化知x3=8,所以x=2.] [即学即练] =W1og2103=-3W1og210, 关键能力·合作探究 1.(1)2 (2)2(3)13 C2-W1og210000-W1og210'-4W1og210, 典例1] 解 (1):21=128 2.3 4W1og2104 ≈1.33，所以C log b 所以C 1 i(二)l.ioga 2.(1)1 =3W1og210 3 .-7-10g2128 大约增加了33%. :汇即学即练] :2.11[设需要n(n∈N)块这样的玻璃，由 2(） =16,.1og116=-2. 1 1.2a十b [log2 10= 1 1g12 g3+21g2 题意可得（品）广≤号，可得心1e职行 81og427=-3(号） =27 =2a+6] 1 1g3 lg 3 12.4 ≈10.417， (4)1ogF64=-6,∴.（团）-6=64. 而1og器31g10 9 1-21g3 对点训练 关键能力·合作探究 :[典例1解(1)原式=(1g5)+(2-1g2) 解(1)log28=3.(2)lnn=√3. :n∈N,因此，至少需要11块这样的 Ig 2 玻璃. (3)log213 Γ3.(4)32-9. =(1g5)2+(1+lg5)1g2 素养演练·提升技能 =(1g5)2+1g2·lg5十1g2 11.B「由题意知△=0， 61023=元(6)3‘=T 1 =(1g5+1g2)·lg5+1g2 即(-2)2-41g(c2-b2)-21ga+1]=0, -lg5+lg2-1. 化简得21ga-1g(c2-)=0, [典例2] 酸 (1)x=64子=(43)号=4- g3+g3+01g3-g3时 所以1g=0,所以形=1， 16 (2)原式= 41g3-31g3 所以a2十=c2,故△ABC是直角三 (2)因为x=8, 1+ 4 9 +0- 2g3 1 角形.] 所以x=(x)方=8市=(23)言=2克=√2 :2.D[由已知得，l1g-1gM-1gN=361 (3)10-100=102,于是x=2 (4-3)1g3 (4)由-lne=x,得-x=lne,即er=e. (3)原式=1og(5X7)-2(1og7-1og3)+ ×1g3-80×1g10≈361×0.48-80= 所以x= -2. 1og:7-1og5 93.28=1g10.故与 ·最接近的 (5)因为1ogE-1) 1 =log;5+log;7-2l0g;7+2l0g;3+log;7- 是108.] W/3+2W2 2log;3+log:5 3.C[e=2.5, 所以（反-1）x 1 1 =21og5=2 √/3+2√2 √（√2+1）2对点训练 1 x=h2.5-g25-g文-lg5-g2 lg e lge =√2-1，所以x=1. 解(1)log5+log lg e +1 对点训练 log,1=0. =1-21g2≈0.9164，故选C.] Ig e 得2寺=， (2)21og10+10g0.36-1og610+1og0.3614.2[由3-4=6得，x=1og6,y=1og:6, 解(1)由1og2x= =]og6100+1og0.36-log6(100×0.36)=: 2+ 1 x=2 10g636=l0g62=2. log 6 log,6-2logs 3+log,4 2 (3)1og(1og381)=log2(1og3)=1og4-: =1og6(3×4)=1og36=2.] (2)由1og25=2,得x2=25.,x>0, 10g222=2. 15.解.3=5=c,∴c>0, 且x≠1，∴.x=5. [典例2]解(1)log5·1og7·1og16 ..a=logsc,b=logc, (3)由1ogx2=2,得x2=52,x=士5. 1g5 g7.g16_1g16 .52=25>0,(-5)2=25>0, 1g2 1g5 1g71g2 =4 =1g3,古-1og5 ,,元=5或三一5 (2)(1og3+1og3)·(1og5+log5)g2 1十 1 =1og15. (4)由2ggx=4=22,得10g3x-2, 1g3g3 a b x=32,即x=9. g2Tg5)· (是)g2 由1og15=2得2-15， T典例3]解(1)1og2(1ogx)=0 lg 3(lg 2-1g 5) lg 2lg 5 g50g 3g 9).2 因此c=√I5(负值舍去). ∴.logx=20=1,.x-5=5. 1g3g9 4.4.1&4.4.2对数函数的概念 (2)1og3(1gx)-1, 1g321g3」 .lgx=31=3,∴x=103=1000 1g3 2 对数函数的图象和性质 ·对点训练 (3).x=7-1og,i=70-1og7i=70÷7g,i= 1 11.C [根据换底公式和对数运算性质得， 第一课时对数函数的概念及其 g,12-k-k3+223+2:必备知识，自主梳理 0 图象和性质 对点训练 解(1)因为1og(1ogx)=0, : 所以log3x=1,所以x=3. 1g2 1g 2 0 (2)因为1og(10g2x)=1, 1g5 (一)v=log.x(a>0,且a≠1)x(0,+o∞) :「即学即练】 -lg3+2-21g5-2+a一2%] 1.C 根据对数函数的概念可知，选项C中 所以l0g2x=5,所以x=2i=32, 1-1g5 1-b 的函数为对数函数.故选C, 素养演练·提升技能 lg 3 lg 2 lg 3 Ig 2 2.y=log3x[设对数函数为y=logx(a> 1.D [1og9=-2,a>0,∴a2-9,解得2.解 (1)原式= g41g91g22 1g32 0,且a≠1) a=3,故选D.] 1g3 Ig 2 .2=log9,∴a=3,∴.解析式为y=ogx.] 21g221g3-4 (二)1.(0，+∞)R(10) y<0y>0 2.C[因为9立=3化为对数式应为1og3= v>0y<0增函数减函数2.y=logx (2)因为2=3，所以b=10g3,则10g2=- b· (a0,且a≠1) 之，故C不正确] log3561og3(23×7) [即学即练] 1.B [y=lnx+1化为y-1=lnx, 3.AB [Ig(lg 10)=1g 1=0,In(In e)=In 1=' .1og1456= 10g31410g3(2X7) 将y一1看作整体，求得x=e1, 0,故A、B正确： 若10-1gx,则x-10≠10，故C错误； 则其反函数为y=e一 31og32+1og37 3+ab 由于x>0,则y=lnx十1∈R, 若elnx,则x=e≠e,故D错误.] 1og32+1og37 1-ab 因而y=e(x∈R),故选B.] 4.0[原式=3+2×0-3×1+3×0=0.] b+a 12.(0,2) 273