专题1 培优点5 极值点偏移问题-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

极值点偏移问题 极值点偏移是指函数在极值点左右的增减速度不一样，导致函数图象不具有对称性，极值点偏移问题常常出现在高考数学的压轴题中，这类题往往思维要求较高，过程较为烦琐，计算量较大，解决极值点偏移问题，有构造对称函数法和比值代换法，二者各有千秋，独具特色． 例　(2021·启东模拟)已知函数f(x)＝aex－x，a∈R.若f(x)有两个不同的零点x1，x2.证明x1＋x2>2. 证明　由f(x)＝aex－x＝0，得－a＝0， 令g(x)＝－a，则g′(x)＝， 由g′(x)＝>0，得x<1； 由g′(x)＝<0，得x>1. 所以g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 由于x1，x2是方程g(x)＝0的实根，不妨设0<x1<1<x2， 方法一　(对称化构造函数法)要证x1＋x2>2， 只要证x2>2－x1>1. 由于g(x)在(1，＋∞)上单调递减，故只要证g(x2)<g(2－x1)， 由于g(x1)＝g(x2)＝0，故只要证g(x1)<g(2－x1)， 令H(x)＝g(x)－g(2－x)＝－(x<1)， 则H′(x)＝－＝， 因为x<1，所以1－x>0,2－x>x，所以e2－x>ex，即e2－x－ex>0， 所以H′(x)>0，所以H(x)在(－∞，1)上单调递增． 所以H(x1)<H(1)＝0，即有g(x1)<g(2－x1)成立，所以x1＋x2>2. 方法二　(比值代换法)设0<x1<1<x2， 由g(x1)＝g(x2)， 得， 取对数得ln x1－x1＝ln x2－x2. 令t＝>1，则x2＝tx1，代入上式得ln x1－x1＝ln t＋ln x1－tx1，得x1＝，x2＝. 所以x1＋x2＝>2⇔ln t－>0， 设g(t)＝ln t－(t>1)， 所以g′(t)＝－＝>0， 所以当t>1时，g(t)单调递增， 所以g(t)>g(1)＝0， 所以ln t－>0， 故x1＋x2>2. 极值点偏移问题的解法 (1)(对称化构造法)构造辅助函数：对结论x1＋x2>2x0型，构造函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)；对结论x1x2<x型，构造函数F(x)＝f(x)－f ，通过研究F(x)的单调性获得不等式． (2)(比值代换法)通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t＝化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 已知函数f(x)＝xln x的图象与直线y＝m交于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．求证：x1x2<. 证明　f′(x)＝ln x＋1， 由f′(x)>0，得x>，由f′(x)<0，得0<x<， ∴函数f(x)在上单调递减，在上单调递增． 可设0<x1<<x2. 方法一　构造函数F(x)＝f(x)－f ，则 F′(x)＝f′(x)＋f′＝1＋ln x＋·＝(1＋ln x)·， 当0<x<时，1＋ln x<0,1－<0，则F′(x)>0，得F(x)在上单调递增，∴F(x)<F＝0， ∴f(x)<f ， 将x1代入上式得f(x1)<f ， 又f(x1)＝f(x2)，∴f(x2)<f ， 又x2>，>，且f(x)在上单调递增， ∴x2<，∴x1x2<. 方法二　f(x1)＝f(x2)即x1ln x1＝x2ln x2， 令t＝>1，则x2＝tx1， 代入上式得x1ln x1＝tx1(ln t＋ln x1)，得ln x1＝. ∴x1x2<⇔ln x1＋ln x2<－2⇔2ln x1＋ln t<－2⇔＋ln t<－2⇔ln t－>0. 设g(t)＝ln t－(t>1)， 则g′(t)＝>0. ∴当t>1时，g(t)单调递增，g(t)>g(1)＝0， ∴ln t－>0.故x1x2<. 学科网（北京）股份有限公司 $