专题1 培优点2 导数中的函数构造问题-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

导数中的函数构造问题 导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，根据不等式的形式构造适当的函数是求解问题的关键． 例1　(1)(2021·江苏徐州一中模拟)已知函数f(x)在(0,1)上恒有xf′(x)>2f(x)，其中f′(x)为函数f(x)的导数，若α，β为锐角三角形两个内角，则(　　) A．sin2βf(sin α)>sin2αf(sin β) B．cos2βf(sin α)>sin2αf(cos β) C．cos2βf(cos α)>cos2αf(cos β) D．sin2βf(cos α)>sin2αf(cos β) 答案　B 解析　设g(x)＝(0<x<1)，则g′(x)＝＝>0， 所以函数g(x)在(0,1)上单调递增． α， β为锐角三角形两个内角，则α＋β>， 所以0<－β<α<， 由正弦函数y＝sin x在上单调递增． 得0<cos β＝sin<sin α<1， 所以g(cos β)<g(sin α)，即<， 所以sin2α·f(cos β)<cos2β·f(sin α)． (2)(2021·安庆模拟)已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，f(1)≠0，且满足f′(x)ln x＋<0，则不等式(x－1)f(x)<0的解集为(　　) A．(1，＋∞) B．(0,1) C．(－∞，1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　∵[f(x)ln x]′＝f(x)＋f′(x)ln x<0， ∴g(x)＝f(x)ln x在(0，＋∞)上单调递减，而g(1)＝0， ∴在(0,1)上ln x<0，g(x)>0；在(1，＋∞)上ln x>0，g(x)<0，而f(1)<0， ∴在(0，＋∞)上f(x)<0，又函数f(x)为奇函数， ∴在(－∞，0)上f(x)>0. 不等式(x－1)f(x)<0等价于或 ∴x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)． 例2　(1)(2021·大连模拟)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x)＋xf′(x)＝，f(1)＝1，则f(x)的零点是________． 答案　 解析　令F(x)＝xf(x)－ln x， 则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)－， 又f(x)＋xf′(x)＝， 所以F′(x)＝f(x)＋xf′(x)－＝0， 则函数F(x)为常函数，又F(1)＝1×f(1)－ln 1＝1， 所以F(x)＝xf(x)－ln x＝1，即f(x)＝， 令f(x)＝0，所以x＝. (2)(2021·朝阳检测)若xex＝5，ln y－＝1，则xy＝________. 答案　5e 解析　由xex＝5，两边取以e为底的对数，得x＋ln x＝ln 5， 由ln y－＝1，令＝t，则y＝， 所以ln y－＝ln －t＝ln 5＋1－ln t－t＝1， 即ln 5－ln t－t＝0， 所以ln 5＝ln t＋t， 设f(x)＝x＋ln x，则f′(x)＝1＋>0， 所以f(x)＝x＋ln x在(0，＋∞)上单调递增， 由x＋ln x＝ln 5以及ln 5＝ln t＋t，则x＝t， 由y＝，即y＝，则xy＝5e. (1)构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式． (3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式． (4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式． 1．(多选)(2021·淄博模拟)已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是(　　) A．ln 2> B．ln 3< C．ln π> D．< 答案　ACD 解析　令f(x)＝ln x－，则f′(x)＝－，当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0， 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，故f(x)max＝f(e)＝ln e－＝0， 则f(2)＝ln 2－<0，得ln 2<，故A错； f(3)＝ln 3－<0，得ln 3<，故B正确； f(π)＝ln π－<0，得ln π<，故C错； 对D项，令g(x)＝，则g′(x)＝，当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减， 则g(3)>g(π)，得>，化为>，故D错． 2．(2021·池州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，且3f(x)－f′(x)>0在R上恒成立，则下列不等式一定成立的是(　　) A．f(1)<e3f(0) B．f(1)<e2f(0) C