专题1 培优点1 函数的公切线问题-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

函数的公切线问题 导数中的公切线问题，重点是导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要考查消元、转化、构造函数、数形结合能力以及数学运算素养． 例　(1)若f(x)＝ln x与g(x)＝x2＋ax两个函数的图象有一条与直线y＝x平行的公共切线，则a等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．3或－1 答案　D 解析　设在函数f(x)＝ln x处的切点为(x，y)，根据导数的几何意义得到k＝＝1，解得x＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y＝x－1，此切线和 g(x)＝x2＋ax也相切，故x2＋ax＝x－1， 化简得到x2＋(a－1)x＋1＝0，只需要满足Δ＝(a－1)2－4＝0，解得a＝－1或a＝3. (2)已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)等于(　　) A．－1 B．－2 C．1 D．2 答案　B 解析　已知曲线y＝ex在点(x1，)处的切线方程为y－＝(x－x1)，即y＝x－x1＋， 曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线方程为y－ln x2＝(x－x2)，即y＝x－1＋ln x2， 由题意得得x2＝， －x1＝－1＋ln x2＝－1＋＝－1－x1，则＝.又x2＝，所以x2＝，所以x2－1＝－1＝，所以(x1＋1)(x2－1)＝－2. (3)(2021·南昌模拟)已知曲线C1：y＝ex＋m，C2：y＝x2，若恰好存在两条直线l1，l2与C1，C2都相切，则实数m的取值范围是________． 答案　(－∞，2ln 2－2) 解析　设直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，设l1与C1，C2的切点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则有 可得 故k1＝－k1， 整理得m＝ln k1－－1， 同理可得，当直线l2：y＝k2x＋b2与C1，C2都相切时有m＝ln k2－－1， 综上所述，只需m＝ln k－－1(k>0)有两解， 令f(k)＝ln k－－1，则f′(k)＝－＝， 故当f′(k)>0时，0<k<4， 当f′(k)<0时，k>4， 所以f(k)在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减， 故f(k)max＝f(4)＝ln 4－－1＝2ln 2－2， 又当k→0时，f(k)→－∞；当k→＋∞时，f(k)→－∞. 所以只需满足m<2ln 2－2即可， 所以实数m的取值范围是(－∞，2ln 2－2)． 解决曲线的切线问题，核心是切点坐标，因为切点处的导数就是切线的斜率，公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解． 1．(2021·雅安模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为(　　) A．2 B．5 C．1 D．0 答案　C 解析　根据题意，设两曲线y＝f(x)与y＝g(x)的公共点为(a，b)，其中a>0， 由f(x)＝－2x2＋m，可得f′(x)＝－4x，则切线的斜率为k＝f′(a)＝－4a， 由g(x)＝－3ln x－x，可得g′(x)＝－－1，则切线的斜率为k＝g′(a)＝－－1， 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同， 所以－4a＝－－1，解得a＝1或a＝－(舍去)， 又由g(1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f(x)＝－2x2＋m，可得m＝1. 2．(2021·龙岩模拟)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ex－2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于(　　) A．－ B. C. D. 答案　D 解析　设曲线y＝ex－2上的点P(x1，y1)，y′＝ex－2，k1＝； 曲线y＝ex－1上的点Q(x2，y2)，y′＝ex，k2＝， ∴l1：y＝x＋－x1，l2：y＝x＋－1－x2， ∴∴x2＝－ln 2， ∴k＋b＝＋－1－x2＝＋－1－(－ln 2)×＝. 3．(2021·合肥模拟)曲线f(x)＝ex－1与曲线g(x)＝ln x有________条公切线．(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　设(x0，)是曲线f(x)图象上任意一点，f′(x)＝ex－1， 所以f′(x0)＝， 所以过点(x0，)的切线方程为y－＝ (x－x0)， 整理得y＝·x＋(1－x0)，① 设(x1，ln x1)是曲线g(x)＝ln x图象上任意一点， 则g′(x1)＝，由题意得x1＝，则g(x1)＝1－x0， 所以曲线g(x)上过点(，1－x0)的切线方程为y－(1－x0)＝ (x－)，整理得y＝·x－x0，② 由于切