专题1 第6讲 母题突破2 恒成立问题与有解问题-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

母题突破2　恒成立问题与有解问题 母题　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围． 2思路分析一 ❶∀x≥0，fx≥x3＋1 　　　　↓ ❷分离参数a≥gx ↓ ❸a≥gxmax,　　 ↓ ❹求gxmax 思路分析二 ❶∀x≥0，fx≥x3＋1 ↓ ❷等价变形 ↓ ❸构造新函数 ↓ ❹求新函数的最值 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x， f′(x)＝ex＋2x－1，令φ(x)＝ex＋2x－1， 由于φ′(x)＝ex＋2>0， 故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0， 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增． (2)方法一　由f(x)≥x3＋1得， ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0. ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； ②当x>0时，分离参数a得，a≥－， 记g(x)＝－， g′(x)＝－， 令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)， 则h′(x)＝ex－x－1， 令t(x)＝h′(x)，x≥0，则t′(x)＝ex－1≥0， 故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0， 故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0， 由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立， 故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 因此，g(x)max＝g(2)＝， 综上可得，a的取值范围是. 方法二　f(x)≥x3＋1等价于e－x≤1. 设函数g(x)＝e－x(x≥0)， 则g′(x)＝－e－x ＝－x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－x(x－2a－1)(x－2)e－x. ①若2a＋1≤0，即a≤－，则当x∈(0,2)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2)上单调递增，而g(0)＝1， 故当x∈(0,2)时，g(x)>1，不符合题意． ②若0<2a＋1<2，即－<a<，则当x∈(0,2a＋1)∪(2，＋∞)时，g′(x)<0；当x∈(2a＋1,2)时，g′(x)>0，所以g(x)在(0,2a＋1)，(2，＋∞)上单调递减，在(2a＋1,2)上单调递增．由于g(0)＝1，所以g(x)≤1当且仅当g(2)＝(7－4a)e－2≤1， 即a≥.所以当≤a<时，g(x)≤1. ③若2a＋1≥2，即a≥，则g(x)≤e－x. 由于0∈， 故由②可得e－x≤1. 故当a≥时，g(x)≤1. 综上，a的取值范围是. [子题1]　(2021·北京模拟)已知函数f(x)＝(x－2)ex－ax2＋ax(a∈R)． (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x≥2时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，f(x)＝(x－2)ex， f(0)＝(0－2)e0＝－2， f′(x)＝(x－1)ex，k＝f′(0)＝(0－1)e0＝－1， 所以切线方程为y＋2＝－(x－0)，即x＋y＋2＝0. (2)方法一　f′(x)＝(x－1)(ex－a)， ①当a≤0时，因为x≥2，所以x－1>0，ex－a>0，所以f′(x)>0， 则f(x)在[2，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(2)＝0成立． ②当0<a≤e2时，f′(x)≥0， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(2)＝0成立． ③当a>e2时，在区间(2，ln a)上，f′(x)<0；在区间(ln a，＋∞)上，f′(x)>0， 所以f(x)在(2，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，f(x)≥0不恒成立，不符合题意． 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]． 方法二　当x≥2时，f(x)≥0恒成立，等价于当x≥2时，(x－2)ex－ax2＋ax≥0恒成立． 即a≤(x－2)ex在[2，＋∞)上恒成立. 当x＝2时，0·a≤0，所以a∈R. 当x>2时， x2－x>0， 所以a≤＝恒成立． 设g(x)＝，则g′(x)＝， 因为x>2，所以g′(x)>0， 所以g(x)在区间(2，＋∞)上单调递增． 所以g(x)>g(2)＝e2，所以a≤e2. 综上所述，a的取值范围是(－∞，e2]． [子题2]　已知x＝为函数f(x)＝xaln x的极值点． (1)求a的值； (2)设函数g(x)＝，若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范围． 解　(1)f′(x)＝axa－1ln x＋xa·＝xa－1(aln x＋1)， f′＝a－1＝0，解得a＝2， 当a＝2时，f′(x)＝x(2l