专题1 第6讲 母题突破1 导数与不等式的证明-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

第6讲　导数的综合应用 [考情分析]　1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题的形式压轴出现，难度较大． 母题突破1　导数与不等式的证明 母题　(2021·全国乙卷改编)设函数f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)＝.证明：g(x)<1. 思路分析 ❶讨论x∈0，1和－∞，0，等价转换不等式 ↓ ❷构造新函数hx＝x＋1－xln1－x ↓ ❸换元令t＝1－x简化函数求最值 证明　f(x)＝ln(1－x)，g(x)＝＝，x<1且x≠0， 当 x∈(0,1)时，要证g(x)＝<1，∵x>0，ln(1－x)<0, ∴xln(1－x)<0，即证x＋ln(1－x)>xln(1－x)，化简得x＋(1－x)ln(1－x)>0； 同理，当x∈(－∞，0)时，要证g(x)＝<1，∵x<0，ln(1－x)>0, ∴xln(1－x)<0，即证x＋ln(1－x)>xln(1－x)，化简得x＋(1－x)ln(1－x)>0， 令h(x)＝x＋(1－x)ln(1－x)，再令t＝1－x，则t∈(0,1)∪(1，＋∞)，x＝1－t， 令g(t)＝1－t＋tln t，g′(t)＝－1＋ln t＋1＝ln t， 当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减，假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增，假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0， 综上所述，g(x)＝<1在x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立． [子题1]　证明：当x∈(0,1)时，ex－1·ln x<x2－x. 证明　要证ex－1·ln x<x2－x＝x(x－1)， 只需证<. 方法一　只需证<， 令f(x)＝(x<0)， ∴f′(x)＝>0， ∴f(x)在(－∞，0)上单调递增， 又当x∈(0,1)时，ln x<0，x－1<0， 且易证ln x<x－1， ∴f(ln x)<f(x－1)， 即有<， 即证原不等式成立． 方法二　只需证<， 令φ(x)＝，x∈(0,1)， φ′(x)＝>0， ∴φ(x)在(0,1)上单调递增， 又当x∈(0,1)时，ex－1∈(0,1)，且易证ex－1>x， ∴φ(ex－1)>φ(x)，即>， 即证原不等式成立． [子题2]　(2021·泉州模拟)设函数f(x)＝ln x－kx＋1. (1)当k>0时，若对任意的x>0，恒有f(x)≤0，求k的取值范围； (2)证明：＋＋…＋<(n∈N，n≥2)． (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－k＝， 当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0， ∴f(x)在上单调递增，在上单调递减， ∴f(x)max＝f ＝ln ≤0，解得k≥1， ∴k的取值范围是[1，＋∞)． (2)证明　令k＝1，由(1)知，ln x－x＋1≤0， ∴ln x≤x－1，∵n∈N，n≥2， ∴ln n2≤n2－1，∴≤＝1－， ∴＋＋…＋≤＋＋…＋＝(n－1)－ <(n－1)－ ＝(n－1)－ ＝(n－1)－＝，∴结论成立． 规律方法　利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)>g(x)(或f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(或f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论． (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明：f(x)≤－－2. (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f ＝ln－1－， 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1＝. 当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0， 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0. 从而当a<0时，ln＋＋1≤0， 即f(x)