专题1 第5讲 函数的极值、最值-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

第5讲　函数的极值、最值 [考情分析]　利用导数研究函数的极值、最值是重点考查内容，多在选择题、填空题靠后的位置考查，或以解答题的形式出现，难度中等偏上，属综合性问题． 考点一　利用导数研究函数的极值 核心提炼 判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点． (2)利用函数f′(x)的单调性可得函数的极值点． 例1　已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋1)x＋1. (1)当a＝0时，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程； (2)若函数f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围． 解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2－x＋1. 所以f′(x)＝x－1, 所以k＝f′(2)＝1, 因为f(2)＝×22－2＋1＝1， 所以切线方程为y＝x－1. (2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f(x)＝aln x＋x2－(a＋1)x＋1， 所以f′(x)＝＋x－a－1＝. 令f′(x)＝0，即x2－(a＋1)x＋a＝0，解得x＝1或x＝a. ①当a≤0时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (0,1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝1时，f(x)取得极小值．所以a≤0成立. ②当0<a<1时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (0，a) a (a,1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝1时，f(x)取得极小值．所以0<a<1成立. ③当a＝1时，f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，没有极小值，不成立． ④当a>1时，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示. x (0,1) 1 (1，a) a (a，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以当x＝1时，f(x)取得极大值．所以a>1不成立. 综上所述，a<1. 易错提醒　(1)不能忽略函数的定义域． (2)f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件，即f′(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f′(x)＝0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性． (3)函数的极小值不一定比极大值小． 跟踪演练1　(1)(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则(　　) A．a<b B．a>b C．ab<a2 D．ab>a2 答案　D 解析　方法一　(分类与整合法)因为函数f(x)＝a(x－a)2·(x－b)，所以f′(x)＝2a(x－a)(x－b)＋a(x－a)2＝a(x－a)·(3x－a－2b)．令f′(x)＝0，结合a≠0可得x＝a或x＝. (1)当a>0时， ①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递增，在上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意； ②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递增，无极值点，不满足题意； ③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意． (2)当a<0时， ①若>a，即b>a，此时易知函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在上单调递增，所以x＝a为函数f(x)的极小值点，不满足题意； ②若＝a，即b＝a，此时函数f(x)＝a(x－a)3在R上单调递减，无极值点，不满足题意； ③若<a，即b<a，此时易知函数f(x)在上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，所以x＝a为函数f(x)的极大值点，满足题意． 综上，a>0且b>a满足题意，a<0且b<a也满足题意．因此，可知必有ab>a2成立． 方法二　当a＝1，b＝2时，函数f(x)＝(x－1)2·(x－2)，画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误；当a＝－1，b＝－2时，函数f(x)＝－(x＋1)2(x＋2)，画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数f(x)的极大值点，满足题意．从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误． 图1　　　　　　　　　　　　图2 方法三　当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图3所示，观察可知b>a. 图3 当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图4所示，观察可知a>b.