专题1 第3讲 不等式-（配套word）2022新高考新教材数学【步步高】大二轮专题复习与增分策略（京津鲁琼辽）

第3讲　不等式 [考情分析]　1.对不等式的性质及不等式的解法的考查一般不单独命题，常与集合、函数图象与性质相结合，也常渗透在三角函数、数列、解析几何、导数等题目中.2.基本不等式主要渗透在其他知识中求最值.3.题型多以选择题、填空题的形式呈现，中等难度． 考点一　不等式的性质及应用 核心提炼 不等式的常用性质 (1)a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc. (2)a>b>0，c>d>0⇒ac>bd>0. (3)a>b>0⇒an>bn，>(n∈N，n≥2)． (4)a>b，ab>0⇒<. 例1　(1)(2021·宁夏大学附属中学模拟)已知a，b，c满足a>b>c，且ac>0，则下列选项中一定能成立的是(　　) A．ab>ac B．c(b－a)>0 C．ab(a－c)>0 D．cb2>ca2 答案　C 解析　取a＝－1，b＝－2，c＝－3， 则ab＝2<ac＝3，cb2＝－12<ca2＝－3，排除A，D； 取a＝3，b＝2，c＝1，则c(b－a)＝－1<0，排除B； 因为a>b>c，且ac>0，所以a，b，c同号，且a>c， 所以ab(a－c)>0. (2)(2021·淮南模拟)设<a<1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(1－a)，p＝loga，则m，n，p的大小关系是(　　) A．n>m>p B．m>p>n C．p>n>m D．n>p>m 答案　D 解析　因为<a<1, 所以a2＋1－＝>0， －(1－a)＝＝>0， y＝logax为减函数， 所以m<p, p<n. 可得n>p>m. 规律方法　判断关于不等式命题真假的常用方法 (1)作差法、作商法． (2)利用不等式的性质推理判断． (3)利用函数的单调性． (4)特殊值验证法，特殊值法只能排除错误的命题，不能判断正确的命题． 跟踪演练1　(1)(多选)(2021·广州模拟)设a，b，c为实数且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　) A.> B．2 021a－b>1 C．ln a>ln b D．a(c2＋1)>b(c2＋1) 答案　BD 解析　对于A，若a>b>0，则<，所以A错误； 对于B，因为a－b>0，所以2 021a－b>1，所以B正确； 对于C，函数y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，而a，b不一定是正数，所以C错误； 对于D，因为c2＋1>0，所以a(c2＋1)>b(c2＋1)，所以D正确． (2)(多选)(2021·长沙模拟)设x，y为实数，且满足1≤x≤4,0<y≤2，则下列结论错误的是(　　) A．1<x＋y≤6 B．1<x－y≤2 C．0<xy≤8 D.≥2 答案　BD 解析　∵1≤x≤4,0<y≤2，∴1<x＋y≤6，A正确； ∵1≤x≤4，－2≤－y<0，∴－1≤x－y<4，B错误； ∵1≤x≤4,0<y≤2，∴0<xy≤8，C正确； ∵1≤x≤4,0<≤，∴≥，D错误． 考点二　不等式的解法 核心提炼 不等式恒成立问题的解题方法 (1)f(x)>a对一切x∈I恒成立⇔f(x)min>a，x∈I；f(x)<a对一切x∈I恒成立⇔f(x)max<a，x∈I. (2)f(x)>g(x)对一切x∈I恒成立⇔当x∈I时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法． 例2　(1)已知关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0的解集是(　　) A．(－∞，－3)∪(2，＋∞) B．(－3,2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－2,3) 答案　A 解析　由关于x的不等式ax－b≤0的解集是[2，＋∞)，得b＝2a且a<0， 则关于x的不等式ax2＋(3a－b)x－3b<0可化为x2＋x－6>0， 即(x＋3)(x－2)>0，解得x<－3或x>2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)． (2)若不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.∪{2} 答案　B 解析　当a2－4＝0时，解得a＝2或a＝－2， 当a＝2时，不等式可化为4x－1≥0，解集不是空集，不符合题意； 当a＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a2－4≠0时，要使不等式的解集为空集， 则有解得－2<a<. 综上，实数a的取值范围是. 易错提醒　求解含参不等式ax2＋bx＋c<0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a的符号． 跟踪演练2　(1)“|x－3|<1”是“>1”的(　　) A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不