1.4 两直线的交点-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

1.4 两条直线的交点 一、直线的交点 1、直线的交点与方程的解： 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可. 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标。 2、判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． （1）解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． （2）解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． （3）最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． 二、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 题型一 判断直线相交及求交点 【例1】直线与直线的交点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由解得， 则直线与直线的交点坐标为.故选：A. 【变式1-1】判断下列各组直线的位置关系，如果它们相交，求出交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交，交点坐标；(2) 【解析】（1）因为，所以两直线相交，所以， 解得，所以交点坐标为. （2）因为，所以 【变式1-2】关于x､y的二元一次方程组有无穷多组解，则a与b的积是_____. 【答案】-35 【解析】因为x､y的二元一次方程组有无穷多组解， 所以直线与直线重合， 所以，解得， 所以 . 【变式1-3】曲线与的交点的情况是（ ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到， 两边平方得：， 当，即时，， 得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点． 当时，得到，与曲线只有一个交点． 所以曲线与的最多有两个交点．故选：A 【变式1-4】已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ） A．无论，，如何，方程组总有解 B．无论，，如何，方程组总有唯一解 C．存在，，，方程组无解 D．存在，，，方程组无穷多解 【答案】B 【解析】已知与是直线（为常数）上两个不同的点， 所以,即,并且，. 所以 得：即, 所以方程组有唯一解.故选：B 题型二 根据交点求参数或取值范围 【例2】直线x+ky=0和2x+3y+8=0的交点为A，且A在直线x-y-1=0上，则k的值是（ ） A．- B． C．2 D．-2 【答案】A 【解析】由，解得 ， 即两直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为A(-1，-2)． ∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0 和x-y-1=0交于一点A， ∴-1-2k=0，∴k=-，故选；A． 【变式2-1】直线与直线的交点在第四象限，则实数的取值范围为____． 【答案】 【解析】由题意可得，解得， 且， 故答案为： 【变式2-2】若直线与直线的交点在第一象限，则实数b的取值范围是___________. 【答案】 【解析】由题意，直线， 令，可得；令，可得，即， 如图所示，当直线过点，可得； 当直线过点，可得， 要使得直线与直线的交点在第一象限，则， 即实数的取值范围是. 【变式2-3】若关于，的方程组有无穷多组解，则的值为______ 【答案】4 【解析】若方程组有无穷多组解，即两条直线重合,即 , 则 题型三 多直线交点问题 【例3】设三直线；；交于一点，则k的值为______． 【答案】1 【解析】联立，解得，即与交于点， 依题意可知，，解得. 【变式3-1】三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【解析】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 【变式3-2】已知直线l ：，若直线l与直线，三线共点，求k的值. 【答案】 【解析】由，得， 所以直线，的交点为， 将代入，解得. 【变式3-3】设m为实数，已知三条直线，和相交于一点，求m的值． 【答案】 【解析】联立方程组，解得，即交点为， 把点代入直线， 可得，解得， 所以的值为. 题型四 经过两直线交点的直线系方程 【例4】直线经过直线的交点，且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形，求直线的方程. 【答案】或 【解析】设直线方程为， 化简得, 直线与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形， 直线的斜率为, 或，解