第三章不等式恒成立问题的解题策略讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修5

不等式恒成立问题的解题策略 一般的，若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立。解恒成立问题的常用方法有：最值法、分离参数法、变换主元法、性质法等。 一、最值法： 1.已知定义在上的单调减函数是奇函数，当时，. （1）求 （2）当时，求的解析式； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 略解：（1） （2）当时， （3）由函数是定义在上的奇函数且单调减， 又对任意的，不等式恒成立， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立，由解得 2. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是 法1：最值法 法2：根据题意，构造函数，不等式恒成立，则，， 3.已知，且恒成立，则正数的取值范围是 解： 因为，所以又因为， 即，变形为：展开得：， 由不等式恒成立可得，即解得.故答案为. 【思路点拨】先把原式变形,然后利用基本不等式解决不等式恒成立问题即可. 4.若对于，不等式恒成立，则正实数的取值范围为_____ 【分析】由不等式恒成立，转化为的最小值大于9，构造，利用基本不等式求 的最小值. 【详解】 ， ， 当时，等号成立， 若不等式恒成立，则， 即，即.故答案为： 5．已知. （Ⅰ）当时，解不等式； （Ⅱ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 解：（Ⅰ）当时， 不等式解集为. （Ⅱ）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此 即对任意恒成立， 因为，所以在上单调递增， 所以 因此 二、、变量分离法： 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。即由题设分离出参数，化成（）型恒成立问题，再利用（）求出参数范围。 （1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式； （2） 求在上的最大（或最小）值； （3） 解不等式(或) ，得的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。 1.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 (　C　)． A. B. C. D. 解析：∵x∈(0,2]，∴a2－a≥＝. 要使a2－a≥在x∈(0,2]时恒成立，则a2－a≥max， 由基本不等式得x＋≥2，当且仅当x＝1时，等号