第三章不等式恒成立问题的解题策略讲义-2021-2022学年高一上学期数学人教A版必修5

不等式恒成立问题的解题策略

一般的，若函数在定义域为，则当时，有恒成立；恒成立。解恒成立问题的常用方法有：最值法、分离参数法、变换主元法、性质法等。

一、最值法：

1.已知定义在上的单调减函数是奇函数，当时，.

（1）求

（2）当时，求的解析式；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

略解：（1）

（2）当时，

（3）由函数是定义在上的奇函数且单调减，

又对任意的，不等式恒成立，

所以对任意的，恒成立，

2. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是  

法1：最值法

法2：根据题意，构造函数，不等式恒成立，则，，

3.已知，且恒成立，则正数的取值范围是    

解： 因为，所以又因为，

即，变形为：展开得：

，

由不等式恒成立可得，即解得.故答案为.

【思路点拨】先把原式变形,然后利用基本不等式解决不等式恒成立问题即可.

4.若对于，不等式恒成立，则正实数的取值范围为_____

【分析】由不等式恒成立，转化为的最小值大于9，构造，利用基本不等式求 的最小值.

【详解】 ，

，

当时，等号成立，

若不等式恒成立，则，

即，即.故答案为：

5．已知.

（Ⅰ）当时，解不等式；

（Ⅱ）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.

解：（Ⅰ）当时，

不等式解集为.

（Ⅱ）因为在上单调递减，所以函数在区间上的最大值与最小值的差为，因此

即对任意恒成立，

因为，所以在上单调递增，

所以

因此

二、、变量分离法：

若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。即由题设分离出参数，化成（）型恒成立问题，再利用（）求出参数范围。

（1） 将参数与变量分离，即化为（或）恒成立的形式；

（2） 求在上的最大（或最小）值；

（3） 解不等式(或) ，得的取值范围。

适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。

1.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是 (　C　)．

A.                 B.

C.    D.

解析：∵x∈(0,2]，∴a2－a≥＝.