30 一线三等角全等模型 分阶训练 2022年人教版九年级中考数学几何突破专题

30 一线三等角全等模型 一阶 1.如图，已知中，，，直角的顶点是的中点，两边、分别交、于点、，给出以下四个结论： ① ②是等腰直角三角形 ③ ④的最小值为 上述结论始终正确的有            ． 2.如图，是等腰直角三角形，，，点是线段的中点，点和点分别是线段、上的动点，且满足，过点、分别作垂线段、，则（    ）是定值． A.和的面积 B.和的面积 C.四边形的周长和面积 D.四边形的面积和线段的长度 3.如图，是等腰直角三角形，过直角顶点，，则下列结论：①；②；③；④．正确的有（   ） A.①③ B.②④ C.③④ D.①④ 4.如图，等腰中，，，点在上，，垂直于直线于点． 下列选项正确的是：            ． ①；②；③. 答案与解析 1.①②③④ 解析: ∵、都是的余角， ∴， ∵，，是中点， ∴， ∴在与中， ∴≌， 同理可证≌， ①由≌得到，故①正确； ②由≌得到， ∵是直角， ∴是等腰直角三角形，故②正确； ③由≌得到， 则，故③正确； ④由②知，是等腰直角三角形，则．当时，去最小值，此时，则．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 故答案为：①②③④． 2.D 解析: ∵在中，， ， ∴， ∵在等腰中，点是的中点， ∴平分，， ∴，， 在和中， ∴≌（）， ∴， ∴， 在和中，， ∴≌（）， 同理：≌， ∴， ． 3.D 解析: 三垂直模型证明全等 4.② 解析: 过作的垂线，垂足为，则（三线合一）， 等腰中三垂直模型全等为≌， ∴， 即． 二阶 1.如图，在中，，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标是            ． 2.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为            ． 3.如图，直线经过正方形的顶点，分别过正方形的顶点、作于点，于点，若，，则的长为            ． 4.如图所示，，且，且，点、、到直线的距离分别为、、，计算图中实线所围成的图形的面积是（   ） A. B. C. D. 5.如图：，，若，，，求阴影部分的面积            ． 6.如图，把一块等腰直角三角形零件如图放置在一凹槽内，顶点、、分别落在凹槽内壁上，，测得，，则该零件的面积为            ． 答案与解析 1. 解析: 过作轴于，过作轴于， 三垂直全等为≌，∴，， ∴，，面积法， ∴． 2. 解析: 如图：， ， ， ， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ， ∴， 在中， ， ∴． 3. 解析: ∵四边形是正方形， ∴，， ∵则是直角三角形， ∴， ， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∴． 4.A 解析: ∵且，， ． ∴，． ． ∴≌． ∴，． 同理可证：≌得，． 故． 故． 5. 解析: 过作于，过作于， 则， ， ， ， 在和中 ≌， ， 阴影部分的面积是． 6. 解析: ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴（）， ∴， ∴该零件的面积为：（） 故答案为：． 三阶 1.在数学活动课上，小华用一张等腰直角三角形纸板进行操作探究，已知，． (1)【发现】如图，小华把的直角顶点放置在直线上，使点，分别位于直线的同侧，作，分别交直线于点，，这时，小华通过观察与全等，请你证明这个结论． (2)【探究】小华借助【发现】中的结论，发现当点，位于直线的同侧时，线段，和之间满足一个等量关系，请你写出这个等量关系式            ． (3)【拓展】如图，小华把的直角顶点放置在直线上，使点，分别位于直线的两侧，作，，分别交直线与点，．请你用等式表示，和这三条线段之间的数量关系：          ． 2.已知：如图，中，分别以、为一边向外作正方形和，直线于，若于，于．判断线段的数量关系，并证明． 3.如图，直线经过的顶点，．、分别是直线上两点，且． (1)若直线经过的内部，且、在射线上，请解决下面问题： ①如图，若，，            ；（填“≌”或不一定全等于）            ．（填“”，“”或“”） ②如图，若，若使①中的结论仍然成立，则与应满足的关系是                      ． (2)如图，若直线经过的外部，，请探究、、三条线段的数量关系，说明理由． 答案与解析 1.(1)证明见解析. 解析: ，， ， ， ． 在与中，， ≌． (2) 解析: 略． (3) 解析: 略． 2.． 解析: 线段、的数量关系为相等． ∵，， ∴， ． 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． ∴≌（）， ∴ ． 同理可证≌ ∴． ∴． 3.(1)①≌， 解析: ≌；． ② 解析: ． (2)． 解析: ∵，， 又∵，∴， ∵，， ∴≌