第20讲 抛物线-2023届新高考数学一轮复习讲义

抛物线 一、知识导图 二、知识梳理 1.抛物线的定义 平面内到一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线． 2.抛物线的标准方程与简单性质 标准 方程 y2＝2px (p>0) y2＝—2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝—2py (p>0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 坐标 O(0,0) 对称轴 x轴 y轴 焦点 坐标 F F F F 离心率 e＝1 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0, y∈R x≤0, y∈R y≥0, x∈R y≤0, x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 3.焦半径、通径 抛物线：y2＝2px(p>0)上一点P(x0,y0)到焦点F的距离|PF|＝x0＋,也称为抛物线的焦半径． 过焦点垂直于对称轴的弦称为通径,通径长等于2p,是过焦点最短的弦． 4.四倍关系：y2＝ax的焦点坐标为,准线方程为x＝－. 5.抛物线中的常用结论：直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图所示． ①y1y2＝－p2,x1x2＝. ②|AB|＝x1＋x2＋p,x1＋x2≥2＝p, 即当x1＝x2时,弦长最短为2p. ③＋为定值. ④弦长AB＝(α为AB的倾斜角)． ⑤以AB为直径的圆与准线相切． ⑥焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°. 三、高考真题 1.（2022·全国乙（理）T5） 设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 2.（2022·新高考Ⅰ卷T11） （多选）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ） A. C的准线为 B. 直线AB与C相切 C. D. 3.（2022·新高考Ⅱ卷T10） （多选）已知O为坐标原点，过抛物线的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点，若，则（ ） A. 直线的斜率为 B. C. D. 4．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______. 5．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线的焦点到直线的距离为，则　　 A．1 B．2 C． D．4 6．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 7．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 8．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））若抛物线y2=2px（p>0）的焦点是椭圆的一个焦点，则p= A．2 B．3 C．4 D．8 9．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则= A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（ ） A． B． C． D． 11．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 A．8 B．6 C．4 D．2 . 12．设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则 A． B． C． D． 13．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线的焦点重合，是C的准线与E的两个交点，则 A． B． C． D． 14．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C：的焦点为,是C上一点，，则 A．1 B．2 C．4 D．8 15．（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若，则 A． B． C． D． 16．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷））设为抛物线的焦点，过且倾斜角为的直线