第19讲 双曲线-2023届新高考数学一轮复习讲义

双曲线 一、知识梳理 1.双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的 为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的 ． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a},|F1F2|＝2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. ①当_ 时,M点的轨迹是双曲线； ②当 时,M点的轨迹是两条射线； ③当 时,M点不存在． 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 (a＞0,b＞0) －＝1 (a＞0,b＞0) 图形 性 质 范围 x≥a或x≤－a,y∈R x∈R, y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴,对称中心：原点 顶点 A1(－a,0),A2(a,0) A1(0,－a), A2(0,a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝,e∈(1,＋∞),其中c＝ a,b,c 的关系 c2＝ (c>a>0,c>b>0) 3.等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,其渐近线方程为 ,离心率为 ． 提示：双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 4.双曲线中的几个常用结论 (1)焦点到渐近线的距离为b. (2)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. (3)过双曲线焦点F1的弦AB与双曲线交在同支上,则AB与另一个焦点F2构成的△ABF2的周长为4a＋2|AB|. (4)双曲线的离心率公式可表示为e＝. 5.巧设双曲线方程 (1)与双曲线－＝1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为－＝t(t≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为mx2＋ny2＝1(mn＜0)． 二、高考真题 1.（2022·全国乙（理）T11）11. 双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C的两支交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 2.（2022·全国甲（文）T15） 记双曲线的离心率为e，写出满足条件“直线与C无公共点”的e的一个值______________． 3.（2022·全国甲（理）T14）. 若双曲线的渐近线与圆相切，则_________． 4.（2022·北京卷T12）已知双曲线的渐近线方程为，则__________． 5.（2022·浙江卷T16） 已知双曲线的左焦点为F，过F且斜率为的直线交双曲线于点，交双曲线的渐近线于点且．若，则双曲线的离心率是_________． 6．（5分）（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线的离心率，则该双曲线的渐近线方程为 　　． 7．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A． B． C． D． 8．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）双曲线的右焦点到直线的距离为________． 9．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________． 10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ） A． B．3 C． D．2 11．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））设双曲线C：（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a=（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））双曲线C:的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为 A．2sin40° B．2cos40° C． D． 13．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ））设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A． B． C．2 D． 14．（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ））已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为 A． B． C． D． 15．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ））双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为 A． B． C． D． 16．（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN