第17讲 直线和圆-2023届新高考数学一轮复习讲义

直线和圆 一、知识导图 二、知识梳理 1.直线的倾斜角 (1)定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角,并规定：与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°. (2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0,π)． 2.斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k＝tan_α． (2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k＝． 3.直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 y－y1＝k(x－x1) 不含直线x＝x1 斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 ＝ 不含直线x＝x1(x1＝x2)和直线y＝y1(y1＝y2) 截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0 (A,B不全为0) 平面直角坐标系内的直线都适用 4.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①已知直线的斜截式： 若l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2, 则l1∥l2⇔k1＝k2,b1≠b2；l1⊥l2⇔k1·k2＝－1； l1与l2重合⇔k1＝k2,b1＝b2． ②已知直线的一般式： 若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,(其中A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0),则l1∥l2⇔A1B2＝A2B1且A1C2≠A2C1； l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0． l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且A1C2＝A2C1． (2)两条直线相交 直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解． 5.几种距离 (1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 P1P2＝． (2)点P0(x0,y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝． (3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝． 6.圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心(a,b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0 圆心坐标： 半径r＝ 7.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系． d<r⇔相交；d＝r⇔相切；d>r⇔相离． (2)代数法： 8.圆与圆的位置关系 设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0),圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)． 　方法 位置　 　 关系　 　 几何法：圆心距d与r1,r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况 外离 d>r1＋r2 无解 外切 d＝r1＋r2 一组实数解 相交 |r1－r2|<d<r1＋r2 两组不同的实数解 内切 d＝|r1－r2| 一组实数解 内含 0≤d<|r1－r2| 无解 三、高考真题 1．（2021•新高考Ⅱ）（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是　　 A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 2. （2022·北京卷T3）若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 3.（2022·全国甲（文）T14） 设点M在直线上，点和均在上，则的方程为______________． 4.（2022·全国乙（理）T14） 过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 5.（2022·新高考Ⅰ卷T14） 写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 6.（2022·新高考Ⅱ卷T15） 已知点，若直线关于的对称直线与圆存在公共点，则实数a的取值范围为________． 7．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）（多选）已知点在圆上，点、，则（ ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 8．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 10．（2020年全