第16讲 数列通项与求和——2023届高三数学一轮复习讲义

第16讲 数列通项与求和 一、知识梳理: 1.非等差、等比数列通项公式的求法 ①观察法 ②公式法(项与和的关系) ③累加法:形如 ④累乘法:形如 ⑤构造数列法: ㈠形如设, ㈡形如 ⑴当f(n)为一次函数类型(即等差数列)时:设, ⑵当f(n)为指数函数类型(即等比数列)时:法一:设, 法二:递推公式为两边同时除以,得:, ⑶当f(n)为任意数列时,两边同时除以可得到, ⑥对数变换法:形如型的递推式:, ⑦倒数变换法: 形如(p为常数且p≠0)的递推式:形式 2.求和方法 (1)求和公式法,(2)倒序相加法,(3)错位相减法,(4)裂项相消法,(5)分组求和法. 二、高考真题: 1.(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和,已知是公差为的等差数列. (1)求的通项公式; (2)证明:. 2.(2022新高考全国II卷·第17题)已知为等差数列,是公比为2的等比数列,且. (1)证明:; (2)求集合中元素个数. 3.(2022年全国甲卷理科·第17题)记为数列的前n项和.已知. (1)证明:是等差数列; (2)若成等比数列,求的最小值. 4.(2021年新高考全国Ⅱ卷·第17题)记是公差不为0的等差数列的前n项和,若. (1)求数列的通项公式; (2)求使成立的n的最小值. 5.(2021年新高考Ⅰ卷·第17题)已知数列满足, (1)记,写出,,并求数列的通项公式; (2)求的前20项和. 6.(2020年新高考I卷·第18题)已知公比大于的等比数列满足. (1)求的通项公式; (2)记为在区间中的项的个数,求数列的前项和. 7.(2020新高考II卷·第18题)已知公比大于的等比数列满足. (1)求通项公式; (2)求. 8.(2021年高考全国乙卷理科·第19题)记为数列的前n项和,为数列的前n项积,已知. (1)证明:数列是等差数列; (2)求的通项公式. 9.(2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列的各项均为正数,记为的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立. ①数列是等差数列:②数列是等差数列;③. 注:若选择不同的组合分别解答,则按第一个解答计分. 10.(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第17题)设是公比不为1的等比数列,为,的等差中项. (1)求的公比; (2)若,求数列的前项和. 11.(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)设数列{an}满足a1=3,. (1)计算a2,a3,猜想{an}的通项公式并加以证明; (2)求数列{2nan}的前n项和Sn. 12.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科·第19题)已知数列和满足,,,. 证明:是等比数列,是等差数列; 求和的通项公式. 13.(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第17题)(12分)等比数列中,, (1)求的通项公式; (2)记为的前项和,若,求. (1)或;(2) 14.(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第17题)(12分)记为等差数列的前项和,已知,. (1)求的通项公式; (2)求,并求的最小值. 15.(2016高考数学课标Ⅲ卷理科·第17题)已知数列的前项和,其中. (Ⅰ)证明是等比数列,并求其通项公式; (Ⅱ)若,求. 16.(2016高考数学课标Ⅱ卷理科·第17题)(本题满分12分)为等差数列的前项和,且记,其中表示不超过的最大整数,如. (I)求;(II)求数列的前1 000项和. 17.(2015高考数学新课标1理科·第17题)(本小题满分12分)为数列的前项和.已知 (Ⅰ)求的通项公式: (Ⅱ)设,求数列的前项和 18.(2014高考数学课标2理科·第17题)已知数列满足=1,. (Ⅰ)证明是等比数列,并求的通项公式; (Ⅱ)证明: 19.(2014高考数学课标1理科·第17题)已知数列的前项和为,,,,其中为常数. (1)证明:; (2)是否存在,使得为等差数列?并说明理由. 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $第16讲 数列通项与求和 一、知识梳理： 1.非等差、等比数列通项公式的求法 ①观察法 ②公式法(项与和的关系) ③累加法：形如 ④累乘法：形如 ⑤构造数列法： ㈠形如设, ㈡形如 ⑴当f(n)为一次函数类型（即等差数列）时：设， ⑵当f(n)为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设， 法二：递推公式为两边同时除以，得：， ⑶当f(n)为任意数列时，两边同时除以可得到， ⑥对数变换法：形如型的递推式：， ⑦倒数变换法： 形如（p为常数且p≠0）的递推式：形式 2.求和方法 （1）求和公式法，（2）倒序相加法，（3）错位相减法，（4）裂项相消法，（5）分组求和法. 二、高考真题： 1．(2022新高考全国I卷·第17题)记为数列的前n项和，已知是