第15讲 等差、等比数列-2023届新高考数学一轮复习讲义

第15讲 等差、等比数列　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.数列的有关概念 有关概念 定义 数列 按照 排列的一列数  数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与 之间的关系式  前n项和 数列{an}中,Sn = a1+a2+a3+…+an 2.数列的表示法 表示法 定义 列表法 通过表格表示n与an的对应关系 图像法 用平面直角坐标系内的 y轴右侧一系列孤立的点表示  通项公式 an= f(n) 3.数列的分类 分类原则 类型 满足条件 单调性 递增数列 对任意 的n∈N* 递减数列 常数列 an+1=an 周期性 周期数列 对n∈N*,存在正整数k, 使an+k= an 其他 标准 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项, 有些项小于它的前一项 4. an 与Sn的关系 已知数列{an}的前n项和为Sn,则an= 5.求数列的最大(小)项 一般可以利用数列的单调性,即用(n≥2,n∈N*)或(n≥2,n∈N*)求解,也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解. 6.等差数列中的有关公式 已知等差数列{an}的首项为a1,公差是d,前n项和为Sn,则 等差数列定义式 (n≥2,d为常数)  等差中项 A= (A是a与b的等差中项)  通项公式 或 前n项和公式 7.等差数列的性质 已知{an}是等差数列,Sn是{an}的前n项和. (1)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则有am+an= = .  (2)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成 数列.  (3)两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则它们之间的关系为=. 8.证明数列{an}是否为等差数列 ①定义法,证明an-an-1=d(n≥2,d为常数),用定义法证明等差数列时,常选用式子an+1-an=d或an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须加上“n≥2”; ②等差中项法,证明2an=an-1+an+1(n≥2). 9.等比数列中的有关公式知识聚焦 已知等比数列{an}的首项为a1,公比是q,前n项和为Sn,则 等比数列定义式 　　　　　(n≥2,q≠0且q为常数)  等比中项 =(G是a与b的等比中项) 通项公式 　　　　　　或　　　　　　　　　  前n项和公式 当q=1时,Sn=　　　　;  当q≠1时,Sn=　　　　　= 　　　　　  10.等比数列的性质 已知{an}是等比数列,Sn是{an}的前n项和. (1)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有aman= .  (2)若公比q≠-1,或q=-1且m为奇数,则数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…成等比数列,其公比为 .  (3)①当 或 时,{an}是递增数列; ②当 或 时,{an}是递减数列; ③当q=1时,数列{an}是常数列; ④当q<0时,数列{an}为摆动数列. 11.证明一个数列为等比数列 (1)定义法:若=q(q是非零常数),则数列{an}是等比数列. (2)等比中项法:若=an·an+2(,n∈N*),则数列{an}是等比数列. 二、高考真题 1．(2022年全国乙卷理科·第8题)已知等比数列的前3项和为168，，则(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 2．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科·第6题)数列中，，，若，则(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 3．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科·第5题)已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 4．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第9题)记为等差数列的前项和．已知，，则(　　) A． B． C． D． 5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第4题)记为等差数列的前项和，,．则(　　) A． B． C． D． 6．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科·第4题)记为等差数列的前项和．若,,则的公差为(　　) A． B． C． D． 7．(2017年高考数学课标Ⅲ卷理科·第9题)等差数列的首项为，公差不为．若成等比数列，则前项的和为(　　) A． B． C． D． 8．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科·第3题)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红