第14讲 随机变量及其概率分布、均值与方差-2023届新高考数学一轮复习讲义

第14讲 随机变量及其概率分布、均值与方差 一、知识导图 二、知识梳理 1.离散型随机变量 随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量,常用字母X,Y,ξ,η,…表示,所有取值可以一一列出的随机变量,叫做离散型随机变量． 2.离散型随机变量的概率分布及性质 (1)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i＝1,2,…,n)的概率P(X＝xi)＝pi,则如表所示 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布表． (2)离散型随机变量的概率分布的性质 ①pi≥0,i＝1,2,…,n； ②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝____1____． 3.常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布 如果随机变量X的概率分布表如表所示 X 0 1 P 1－p p 其中0<P<1,则称离散型随机变量X服从两点分布． (2)超几何分布 一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的件数,那么P(X＝r)＝(r＝0,1,2,…,l)．即 X 0 1 … l P … 其中l＝min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*. 如果一个随机变量X的概率分布具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布．记为X～H(n,M,N)． (3)二项分布 ①相互独立事件:设A,B为两个事件,若P(AB)＝P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立． ②独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的,各次之间相互独立的一种试验,在这种试验中每一次试验只有两种结果,即要么发生,要么不发生,且任何一次试验中发生的概率都是一样的． ③在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记为X～B(n,p),并称p为成功概率． 4.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差,有的教材用“V(x)表示”,它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差． (3)均值与方差的性质 ①E(aX＋b)＝aE(X)＋B． ②D(aX＋b)＝a2D(X)(a,b为常数)． (4)两点分布与二项分布的均值、方差 ①若X服从两点分布,则E(X)＝p,D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n,p),则E(X)＝np,D(X)＝np(1－p)． 例. （2022.全国甲）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲学校获得冠军的概率； （2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望． 三、巩固练习 1. （2022.浙江）现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为，则__________，_________． 2．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 4.(2020.新高考1)信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（ ） A 若n=1，则H(X)=0 B. 若n=2，则H(X)随着的增大而增大 C. 若，则H(X)随着n的增大而增大 D. 若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y) 5．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比