第12讲 统计-2023届新高考数学一轮复习讲义

第12讲 统计 一、知识导图 二、知识梳理 1.简单随机抽样 (1)定义：一般地,从个体数为N的总体中逐个取出n个个体作为样本(n＜N),如果每个个体都有相同的机会被取到,那么这样的抽样方法,称为简单随机抽样． (2)最常用的简单随机抽样方法有两种—— 和 ． 2.分层抽样 (1)定义：一般地,当总体由差异明显的几个部分组成时,为了使样本更客观地反映总体情况,我们常常将总体中的个体按 分成层次比较分明的几个部分,然后按各个部分在总体中 实施抽样,这种抽样方法叫 ,所分成的各个部分称为“层” (2)分层抽样的应用范围： 当总体由 组成时,往往选用分层抽样的方法． 3.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)． (2)决定 与 ． (3)将数据 ． (4)列 ． (5)画 ． 提示：（1）频率分布直方图的3个结论 ①小长方形的面积＝组距×＝频率． ②各小长方形的面积之和等于1. ③小长方形的高＝，所有小长方形高的和为. (2) 频率分布直方图中的特征数 ①众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标． ②平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． ③中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的． 例1．（2021.全国甲（理））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 例2．（2019.全国文（新课标Ⅱ））某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. 的分组 企业数 2 24 53 14 7 （1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01） 附：. 4.频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：将频率分布直方图中每个矩形的上底边的中点取出,并且在第一个矩形左侧和最后一个矩形右侧的横轴上各取一点,使其和最近的端点相距为半个组距,然后用折线连接以上各点,即得频率分布折线图． (2)总体分布的密度曲线：将 取得足够大,分组的组距取得足够小,那么相应的频率折线图趋于一条光滑曲线,称这条光滑曲线为总体分布的密度曲线． 5.标准差和方差 (1)标准差是样本数据到平均数的一种 ． (2)标准差： s＝. (3)方差：s2＝ ． (xn是样本数据,n是样本容量, 是样本平均数)． (4) 若数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是________，方差是________． 例3．（2020.全国文（新课标Ⅲ））设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为（ ） A．0.01 B．0.1 C．1 D．10 例4．（2021.全国乙（文））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和． （1）求，，，； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）． 6.相关关系与回归解析 回归解析是对具有相关关系的两个变量进行统计解