第10讲　外接球与内切球-2023届新高考数学一轮复习讲义

第10讲　外接球与内切球 一、知识梳理： 1. 正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R. (1) 若球为正方体的外接球，则2R＝a； (2) 若球为正方体的内切球，则2R＝a； (3) 若球与正方体的各棱都相切，则2R＝a. 注意：长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 例1．（2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国2卷））体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为 A． B． C． D． 例2．（2017年全国普通高等学校招生统一考试）长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为__________. 2.外接球的问题 (1)必备知识： ①简单多面体外接球的球心的结论． 结论1：正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点． 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点． 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点． ②构造正方体或长方体确定球心． ③利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心． (2)方法技巧：几何体补成正方体或长方体． 例3．（2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷））已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A． B． C． D． 3.内切球问题 (1)必备知识： ①内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等． ②正多面体的内切球和外接球的球心重合． ③正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合． (2)方法技巧：体积分割是求内切球半径的通用做法． 例4．（2016年全国普通高等学校招生统一考试）在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若，，， ，则该球体积V的最大值是 A． B． C． D． 二、巩固训练： 1.（2022·新高考Ⅱ卷T7）正三棱台高为1，上下底边长分别为和，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是（ ） A. B. C. D. 2.（2022·全国乙（理）） 已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 3.（2022·新高考Ⅰ卷T8） 已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ） A． B． C． D． 5．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知为球的球面上的三个点，⊙为的外接圆，若⊙的面积为，，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 6．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ） A． B． C．1 D． 7．（2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ））已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A． B． C． D． 8．（2018年全国卷Ⅲ理数高考试题）设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D． 9．（2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷））如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A．cm3 B．cm3 C．cm3 D．cm3 10．（2013年全国普通高等学校招生统一考试））已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为 A． B． C． D． 11．（2018年全国普通高等学校招生统一考试）已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面平面SCB，，，三棱锥的体积为9，则球O的表面积为______． 12．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷带解析））已知是球 的直径上一点, ,平面 ,为垂足, 截球所得截面的面积为 ,则球的表面积为_______. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　外接球与内切球 一、知识梳理： 1. 正方体与球的切、接常用结论 正方体的棱