第9讲 空间角-2023届新高考数学一轮复习讲义

第9讲 空间角 一、知识梳理： 1. 异面直线所成的角 (1) 定义：设a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a，b所成的角． (2) 范围：. (3) 若异面直线a，b所成的角是直角，就称异面直线a，b垂直.记作a⊥b. 例1．（2021.全国乙（文））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 2. 直线和平面所成的角 (1) 定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角． (2) 范围：. 例2.（2022·新高考Ⅰ） （多选）已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 3. 二面角 (1) 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2) 二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角． (3) 二面角的范围：[0，π]． (4) 平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． 4. 向量法求空间角 线线角 两直线方向向量为， 。 线面角 直线的方向向量为，平面的法向量为，。 二面角 两平面的法向量分别为和，则。 例3.（2022·全国甲（理）） 在四棱锥中，底面． （1）证明：； （2）求PD与平面所成的角的正弦值． 例4．（翻折问题）（2018.全国理（新课标I））如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 例5.(向量法设点)(2018新课标Ⅱ)如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值． 例6.（最值问题）（2021全国甲） 已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点． （1）证明：； （2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小? 二、巩固练习： 1.（2022·全国甲（文）） 在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ ） A. B. AB与平面所成的角为 C. D. 与平面所成的角为 2．（2018.全国理（全国卷II））在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 3．（2016.全国）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最大值为60°. 其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 4. （2022·浙江卷）如图，已知正三棱柱，E，F分别是棱上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ） A. B. C. D. 5．（2016.全国文（新课标1））平面过正方体ABCD—A1B1C1D1的顶点A，,，，则m，n所成角的正弦值为 A． B． C． D． 6.（2022·全国乙（理）） 如图，四面体中，，E为的中点． （1）证明：平面平面； （2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值． 7.（2022·新高考Ⅰ） 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为． （1）求A到平面的距离； （2）设D为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值． 8.（2022·新高考Ⅱ） 如图，是三棱锥的高，，，E是的中点． （1）求证：平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 9.（2022·北京卷T17）如图，在三棱柱中，侧面为正方形， 平面平面， ，M，N分别为，AC的中点． （1）求证：平面； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 10.（2022·浙江卷） 如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 11．（2021.全国乙（理））如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且． （1）求； （2）求二面角的正弦值． 12．（2021.全国新高考Ⅰ）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中