第8讲　直线、平面平行与垂直-2023届新高考数学一轮复习讲义

第8讲　直线、平面平行与垂直 一、知识梳理： 第1部分 几何角度 1. 平面的基本性质 公理1：如果一条直线上的________在一个平面内，那么这条直线上________都在这个平面内． 公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是_______________________________． 公理3：经过不在同一条直线上的三点，________. 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相________． 定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别________且方向________，那么这两个角相等． 例1.（2013.安徽）在下列命题中，不是公理的是（ ） （A）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 （C）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 2. 空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 ________ 没有 ________ 不同在任何一个平面内 没有 例2．（2019.全国文（新课标Ⅲ））如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则 A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 3. 直线与平面的位置关系 （1）如果一条直线a和一个平面α没有公共点，则称_____________________． （2）如果一条直线a和一个平面α有且只有一个公共点，则称____________． 特别地，直线l与平面α内的________都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． （3）如果一条直线a和一个平面α有无数个公共点，则称____________． 4. 直线与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行) 因为l∥a，a⊂α，l⊄α，所以l∥α 性质 定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(线面平行⇒线线平行) 因为l∥α，l⊂β，α∩β＝b，所以l∥b 例3．（2017.全国）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面 不平行的是（　　） A． B． C． D． 7. 平面与平面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 若一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行(线面平行⇒面面平行) 因为a∥β，b∥β，a∩b＝P，a⊂α，b⊂α，所以α∥β 性质 定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 因为α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，所以a∥b 8.直线与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面内的______，则该直线与此平面垂直 性质 定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 9. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质 定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 第2部分 向量角度 1. 空间向量中的有关定理 (1) 共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2) 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3) 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底． 2. 两个重要向量 (1) 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表示的向量，一条直线的方向向量有无数个． (2) 设直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量． 3. 空间位置关系的向量表示 位置关系 向量表示 直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2 l1∥l2 n1∥n2⇔n1＝λn2