2.2.1 不等式及其性质-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第一册)

2.2.1 不等式及其性质 一、比较实数a、b的大小 1、文字描述：如果是正数，那么； 如果等于0，那么； 如果是负数，那么，反过来也对。 2．符号表示：；； 二、不等式的性质 1、不等式的性质及推论 性质1：如果，那么（可加性） 性质2：如果，，那么（可乘性） 性质3：如果，，那么（可乘性） 性质4：如果，，那么（传递性） 性质5：，（对称性） 推论1：如果，则（不等式的移项法则） 推论2：如果，，那么（同向可加性） 推论3：如果，，那么（同向同正可乘性） 推论4：如果，那么（可乘方性） 推论5：如果，那么（可开方性） 2、注意事项 （1）推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号，从不等式的一边移到另一边； （2）推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向； （3）推论3表明，个两百年都是正数的同向不等式分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向。 三、不等式的证明方法 1、作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小； 2、综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法 3、反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立； 4、分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立。 题型一 判断不等式是否正确 【例1】如果那么下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确， 若，则AB错误，若，C错误．故选：D． 【变式1-1】已知，则下列不等关系中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析：因为，所以，故A正确； 对于B：当时，故B错误； 对于C：当，，显然满足，但是，故C错误； 对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；故选：A 【变式1-2】下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】A.若，则，取 不成立 B.若，则，取 不成立 C. 若，，则，正确 D. 若，，则，取 不成立故答案选C 【变式1-3】已知，则下列大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为正数，为负数，所以，， ， 所以.故选：C 【变式1-4】已知，满足，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，，则a>0，b<0，，A不正确； ，则，B不正确； 又，即，则，，C正确； 由得，D不正确.故选：C 题型二 作差法比较大小 【例2】设，则的大小关系为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，，，.又，故． 综上可得：．故选：. 【变式2-1】已知，试比较与的值的大小． 【答案】时，；时，． 【解析】，可得， 当时，，，则，即； 当时，，则，即． 综上可得时，；时，． 【变式2-2】已知a，b均为正实数，试利用作差法比较与的大小. 【答案】 【解析】∵ . 又a，b均为正实数，当时，； 当时，，则. 综上所述，. 【变式2-3】比较与两个代数式的大小：； 【答案】； 【解析】， 因此，； 题型三 作商法比较大小 【例3】已知，试比较与的大小. 【答案】 【解析】， ，. 两数作商， . 【变式3-1】已知，，试比较与的大小； 【答案】（当且仅当时取等号） 【解析】由 ，当且仅当时等号成立， 所以（当且仅当时取等号）. 【变式3-2】设，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， ， 则. 故，当且仅当时，取等号，故选：D 【变式3-3】设，试比较与的大小. 【答案】当时两者相等；当时. 【解析】依题意，， 当时，； 当时，： 当时，，所以； 当时，，所以. 故当时，，即. 题型四 利用不等式求取值范围 【例4】设，，求，，的范围. 【答案】，， 【解析】∵，， ∴，，，， ∴，， ∴. 故，，． 【变式4-1】（多选）已知，，则下列正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，， 所以，， 则，，， 即，，，则； 故AB正确，CD错. 【变式4-2】已知且满足，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设