2.2 充分条件、必要条件、充要条件-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第一册)

2.2 充分条件、必要条件、充要条件 一、充分条件与必要条件 “若p，则q”为真命题 “若p，则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 【注意】 （1）前提p⇒q，有方向，条件在前，结论在后； （2）p是q的充分条件或q是p的必要条件； （3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p； “q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”． 二、充分必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由A⊆B可得，p是q的充分条件， ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 充分必要条件判断精髓： 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件； 若两个集合范围一样，就是充要条件的关系。 题型一 充分条件的判断 【例1】下列命题中，哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件？ （1）对角线相等的菱形； （2）对角线互相垂直的矩形； （3）对角线相等的平行四边形； （4）有一个角是直角的菱形． 【答案】（1）是充分条件；（2）是充分条件；（3）不是充分条件；（4）是充分条件 【解析】（1）菱形的对角线垂直，它的对角线相等时，一定是正方形，是充分条件； （2）矩形的对角线相等，它的对角线垂直时，一定是正方形，是充分条件； （3）对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，不是充分条件； （4）菱形的四边相等，有一个角是直角，则四个内角都是直角， 它是正方形，是充分条件． 【变式1-1】(多选)下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的有（ ） A．若x＜1，则x＜2 B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似 C．若|x|≠1，则x≠1 D．若ab＞0，则a＞0，b＞0 【答案】ABC 【解析】由x＜1，可以推出x＜2，所以选项A符合题意； 由两个三角形的三边对应成比例，可以推出这两个三角形相似，所以B符合题意； 由|x|≠1，可以推出x≠1，所以选项C符合题意； 由ab＞0，不一定能推出a＞0，b＞0，比如，所以本选项不符合题意， 故选：ABC 【变式1-2】使成立的一个充分条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据充分条件的定义，由可以得出，B正确； 若，取，无法得到，A错误； C显然错误； 若，取，无法得到，D错误.故选：B. 【变式1-3】（多选）使成立的一个充分条件可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】或， 故使成立的一个充分条件的x的范围应该是的子集.故选：AB. 题型二 必要条件的判断 【例2】“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】因为，故可得或， 若，则不一定有，故充分性不满足； 若，则一定有，故必要性成立， 综上所述：“”是“”的必要不充分条件.故选：. 【变式2-1】已知命题p：“”，命题q：“”．则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】命题p：令，可得，即，故或，解得或， 故p是q的必要不充分条件，故选：B 【变式2-2】“三角形的某两条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】三角形的某两条边相等则三角形是等腰三角形， 不一定是等边三角形，所以充分性不成立； 三角形为等边三角形则其三边相等，能得到三角形的任意两边也是相等的， 所以必要性成立.故选：B. 【变式2-3】2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾