1.3 两条直线的平行与垂直-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(苏教版2019选择性必修第一册)

1.3 两条直线的平行与垂直 一、通过斜率判断平行与垂直 1、通过斜率判断直线平行： 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当 具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2、通过斜率判断直线垂直 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 二、通过一般式判断直线平行与垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0）， （不同时为0） （1）若 （2）若 题型一 两条直线平行的判断 【例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】（1）平行，理由见解析；（2）平行，理由见解析； （3）不平行，理由见解析；（4）平行，理由见解析. 【解析】（1）由题设，、的斜率为， 又，，即不重合， 所以、平行. （2）由题设，中、中， 所以， 又，，即不重合， 所以、平行. （3）由题设，、的斜率，且，，即两线重合， 所以、重合. （4）由题设，、均垂直于x轴， 又，，故不重合， 所以、平行. 【变式1-1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行，理由见解析；(2)平行，理由见解析；(3)平行，理由见解析 【解析】（1）设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、， 则由、的方程可知，且，所以． （2）设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、． 因为、的方程分别可化为，， 所以，且，所以． （3）由、的方程可知，轴，轴， 且两条直线、在轴上的截距不相同， 所以． 【变式1-2】直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ） A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交 【答案】B 【解析】因为直线和直线平行， 所以， 故直线为，与直线平行，故选：B 【变式1-3】直线与直线的位置关系是（ ） A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 【答案】C 【解析】直线可化为， 所以直线与直线的位置关系是重合.故选：C 题型二 两条直线垂直的判断 【例2】下列方程所表示的直线中，一定相互垂直的一对是( ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【解析】A：a＝0时，两直线分别为：，此时它们垂直； 当a≠0时，它们斜率之积为，则它们不垂直； 故两条直线不一定垂直； B：两直线斜率之积为：，故两直线垂直； C：两直线斜率之积为：，故两直线不垂直； D：两直线斜率之积为：，故两条直线不垂直；故选：B. 【变式2-1】“”是“直线与直线垂直”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若直线与直线垂直，则， 即，解得或， 因为， 所以，“”是“直线与直线垂直”的充分非必要条件. 【变式2-2】判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： （1），； （2），； （3），； （4），． 【答案】（1）与垂直；（2）与垂直；（3）与不垂直；（4）与不垂直. 【解析】（1）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （2）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直， （3）因为，， 所以直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与不垂直， （4）因为，， 所以与平行，不垂直. 【变式2-3】直线的斜率是方程的两根，则与的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．相交但不垂直 D．垂直 【答案】C 【解析】设方程的两根为、，则． 直线、的斜率，故与相交但不垂直．故选：C． 题型三 利用直线平行与垂直求参数 【例3】若直线与直线平行，则实数等于（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得.故选：B. 【变式3-1】已知直线，直线，若，则实数a的值为（ ） A．1或 B．1或3 C．1 D．3 【答案】D 【解析】直线，直线平行， 且，解得． 实数的值为．故选：． 【变式3-2】已知直线，直线，且，求m的值． 【答案】6或-1 【解析】因为直线与直线垂直， 所以， 即，解得或. 【变式3-3】是直线与直线互相垂直的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案