专题20 用数形结合法求解零点问题-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题20 用数形结合法求解零点问题 【方法点拨】 1.函数的零点的实质就是函数图象与x轴交点的横坐标，解决实际问题时，往往需分离函数，将零点个数问题转化为两个函数图象交点个数问题，将零点所在区间问题，转化为交点的横坐标所在区间问题. 2.分离函数的基本策略是：一静一动，一直一曲，动直线、静曲线，要把构造“好函数”作为第一要务. 3.作图时要注意运用导数等相关知识分析函数的单调性、奇偶性、以及关键点线（如渐进线），以保证图像的准确. 【典型题示例】 例1 已知函数若函数 （）恰有4个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 因为， 当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当与相切时，联立方程得， 令得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 点评： 本题是一道由函数零点个数求参数的取值范围的问题，其基本思路是运用图象，将零点个数问题转化为两函数图象交点个数，考查函数与方程的应用、数形结合思想、转化与化归思想、导数知识、一元二次方程、极值不等式、特值等进行分析求参数的范围. 例2 已知函数，若函数有三个零点，则实数k的取值范围是__________． 【答案】 【解析】作与图象， 由得 由得，对应图中分界线①; 由过点得，对应图中分界线②； 当与相切于时，因为，所以，对应图中分界线③； 因为函数有三个零点，所以实数k的取值范围是 故答案为： 例3 已知函数与的零点分别为 和．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题转化为函数与函数和交点的大小问题，作出函数图像，观察图像可得结果. 【解析】由，得， 对于函数，在上单调递增，在上单调递减， 由，得， 对于，得在上单调递增，在上单调递减，最大值为，其图像如图， 令得， 要，则直线要在点下方， ， ∴实数的取值范围是． 例4 已知函数，若函数有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】(27，) 【分析】由知，是偶函数，研究“一半”，问题转化为有且仅有两个不同的零点，分离函数得，两边均为基本初等函数，当曲线在一点相切时，两曲线只有一个交点，利用导数知识求出切点坐标，当抛物线开口变大，即函数值小于切点的纵坐标即可. 【解析】易知是偶函数， 问题可转化为有且仅有两个不同的零点. 分离函数得，由图形易知k＞0， 问题进一步转化为有两个交点问题. 先考察两曲线相切时的“临界状态”，此时，两曲线只有一个交点 设两个函数图象的公切点为 则，解得，切点为 再考虑两曲线有两个交点，当且仅当对于二次函数，当时，其函数值，即图象在的下方 所以当时，即k＞27时，上述两个函数图象有两个交点 综上所述，实数k的取值范围是(27，)． 点评： 1.本题解法较多，但利用“形”最简单，只要函数分离的恰当，这种题实现“分分钟”解决也是可及的. 2.有关函数零点的问题解法灵活，综合考察函数的图象与性质、导数的几何意义、分离函数的意识、分离参数的意识等，综合性强，较难把握. 3.利用“数学结合法”求解零点问题的要点有二.一是分离函数，基本策略是“一静一动、一直一曲，动直线、定曲线”,函数最好是基本初等函数；二是求解过程中的“临界状态”的确定，若是一直一曲，一般相切是“临界状态”，若是两曲，一般公切是“临界状态”（曲线的凸凹性相反，即曲线在公切线的两侧） 例5 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点 易知，两边均为曲线，较难求解. 两边取自然对数，，即 问题即为：与有两个交点 先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态” 设切点为，则，解得，此时切点为 代入 再求与有两个交点时，m的取值范围 由图象知，当在直线下方时，满足题意 故，解之得，此时也符合 所以实数m的取值范围是． 点评： 取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数. 例6 若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题的难点是“分离函数”，函数分离的是否恰当、易于进一步解题，是分离时应综合考虑的重要因素，也是学生数学素养、能力的综合体现.本例中，可将已知变形为下列多种形式：、，，···，但利用较简单. 【解析】易知0是函数一