专题19 取对数-2023年高考数学优拔尖核心压轴题（选择、填空题）（新高考地区专用）

专题19 取对数 【方法点拨】 取对数是最易为学生所忽视的运算,当已知中出现复杂的指数式时,取对数往往就起到了”柳暗花明”的作用. 【典型题示例】 例1 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点 易知，两边均为曲线，较难求解. 两边取自然对数，，即 问题即为：与有两个交点 先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态” 设切点为，则，解得，此时切点为 代入 再求与有两个交点时，m的取值范围 由图象知，当在直线下方时，满足题意 故，解之得，此时也符合 所以实数m的取值范围是． 点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数. 例2 设正实数x，则的值域为_____． 【答案】[0，] 【分析】所求函数结构是商的形式，分子、分母又是指对运算，让人“雾里看花”一头雾水，无从下手.联想到“取对数”、“换元”，就可以“拨开浓雾终见日”了. 【解析】当lnx≠0时，两边取对数得： 令lnx＝t 设 ∵ ∴当时，；当时， ∴， ∴， 又lnx≠0时， ∴的值域为[0，]， ∴函数的值域为[0，]． 例3 已知实数，满足，，则______. 【答案】 【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解. 【解法一】对两边取自然对数得：， 对两边取自然对数得： （※） 为使两式结构相同，将（※）进一步变形为： 设，则 所以在单调递增，的解只有一个. ∴， ∴ 【解析二】实数，满足，， ，，则， ， 所以在单调递增，而， . 点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解. 【巩固训练】 1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ） A. a<b<c B. b<a<c C. b<c<a D. c<a<b 2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）. 3.若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为 　 ． 4.若函数（且）的定义域[m，n] 上的值域是[m2，n2]（1<m<n），则实数a的取值范围是 ． 5. 若函数（）有且只有三个零点，则实数a的取值范围是 ． 6.已知变量(),且,若恒成立,则实数m的最大值是 ． 【答案或提示】 1.【答案】A 2. 【答案】C 【提示一】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为. 【提示二】变形为，两边取对数，构造函数，该函数单增，故等价转化为，即，只需，答案为. 3 【答案】 【提示】，，令，，. 4.【答案】 【提示】方法同例1. 5. 【答案】 【提示】，取对数得，即，分离函数转化为、有三个交点. 6.【答案】e 【提示】，则单增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $