4.4 利用导数探究函数零点问题-【2023高考必刷题】2023年高考数学一轮总复习题型归纳+专项练习（新高考专用)

☆注：请用Microsoft Word2016以上版本打开文件进行编辑，用WPS等其他软件可能会出现乱码等现象. 第四章 一元函数的导数及其应用 4.4 利用导数探究函数零点问题 1.判断、证明或讨论函数零点个数的方法： ①利用零点存在性定理的条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0. 判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0； ②另一种是化原函数为两个函数，利用两个函数图象的交点来求解. 2.已知函数有零点求参数范围常用的方法： (1)分离参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从f(x)中分离出参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 (3)分类讨论法：一般命题情境为没有固定区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围. 3.函数极值点偏移问题的解题策略 函数的极值点偏移问题，其实质是导数的应用问题，解题的策略是把含双变量的等式或不等式转化为仅含一个变量的等式或不等式进行求解，解题时要抓住三个关键量：极值点、根差、根商 题型一.判断、证明或讨论函数零点的个数 1．设函数f（x）x﹣lnx（x＞0），则y＝f（x）（　　） A．在区间（，1），（1，e）内均有零点 B．在区间（，1），（1，e）内均无零点 C．在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点 D．在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点 2．已知函数f（x）＝lnx﹣x+2sinx． （1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一的极值点； （2）试讨论f（x）的零点个数． 题型二.根据零点情况求参数范围 考点1.参变分离 1．已知函数f（x）＝（x2﹣4x+1）ex﹣a恰有三个零点，则实数a的取值范围为（　　） A．（﹣2e3，0） B．（，0） C．（，2e3） D．（0，） 2．已知函数在区间（0，2）上至少有一个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，2） B．[2，4ln3﹣2） C． D．[2，+∞） 考点2.转化成两个函数的交点问题 3．已知函数f（x）ax2+cosx﹣1（a∈R），若函数f（x）有唯一零点，则a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，0） B．（﹣∞，0）∪[1，+∞） C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） 4．已知函数f（x）＝e2x﹣ax2+bx﹣1，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，若f（1）＝0，f′（x）是f（x）的导函数，函数f′（x）在区间（0，1）内有两个零点，则a的取值范围是（　　） A．（e2﹣3，e2+1） B．（e2﹣3，+∞） C．（﹣∞，2e2+2） D．（2e2﹣6，2e2+2） 考点3.讨论参数——单调性+极值、最值 5．若函数f（x）＝ex（x3﹣3ax﹣a）有3个零点，则实数a的取值范围是（　　） A．（0，） B．（） C．（0，） D．（） 6．已知函数f（x）＝ex﹣a（x+2）． （1）当a＝1时，讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 考点4.隐零点问题——设而不求，虚设零点 7．已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是　 　． 8．若函数f（x）＝x2alnx（a＞0）有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 题型三.极值点偏移问题 1．已知函数f（x）＝lnx（a∈R且a≠0）． （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a＝2时，若关于x的方程f（x）＝m有两个实数根x1，x2，且x1＜x2，求证：x1+x2＞1． 2．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax+a． （1）若x≥1时，f（x）≥0，求a的取值范围； （2）当a＝1时，方程f（x）＝b有两个不相等的实数根x1，x2，证明：x1x2＜1． 3．已知函数f（x）＝ex（lnx+a）． （1）若f（x）是增函数，求实数a的取值范围； （2）若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2． 1．若函数f（x）x2﹣3x﹣m在区间[﹣2，6]有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（　　） A．（﹣9，18） B．[，） C．（﹣9，） D．[，18） 2．设函数f（x）＝（x﹣1）ex，若关于x的不等式f（x）＜ax﹣1有且仅有两个整数解，则