专题19 二次求导函数处理问题-2023年新高考数学之导数专项重难点突破（新高考专用）

专题19 二次求导函数处理问题 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，属于难题． 二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次求导函数零点“求之不得”的问题。 方法 二次求导 使用情景 对函数一次求导得到之后，解不等式难度较大甚至根本解不出. 解题步骤 设，再求，求出的解，即得到函数的单调性，得到函数的最值，即可得到的正负情况，即可得到函数的单调性. 一、单选题 1．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为，， 由题意在上恒成立，即在上恒成立， 分离参数，而在上的最大值为2， 所以实数的取值范围是.故选：D. 2．已知二次函数的图象过点，且当时，，则的最小值为（       ） A． B． C． D． 【解析】由知，∴， ∴，令，则， ，令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 如图，若图象在图象上方，则， 要使图象在图象上方，则表示x轴截距的相反数， 的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线与相切， 记切点为，则，又， 所以， 有，设， 则， 故当时，函数，当时，， 故当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 此时，综上，的最小值为.故选：D. 3．设实数，那么的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【解析】，令， 令，， 在上是减函数，，在上是减函数， 又，，即，故选：C. 4．若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围为（       ） A． B． C． D． 【解析】依题意，， 设函数，则， 令，故， 所以函数在上单调递减，而， 故当时，，当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则.故选：B． 5．若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【解析】由，得，又关于的不等式在上有解， 所以在上有解，即， 令，，则， 设，，则， 即在上单调递增，则， 于是有，从而得在上单调递增， 因此，，则， 所以的取值范围是.故选：D 6．已知函数，若函数与有相同的最小值，则的最大值为（       ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据题意，求导可得，， ∵（ ），∴在上单调递增， 又∵当时，， ∴当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 故有，即得， 所以根据题意，若使，需使的值域中包含， 即得，故的最大值为2.故选：B. 7．在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【解析】由，化简得：， 设，，则原不等式即为. 若，则当时，，， 原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴. ∵，，∴. 当，即时，设， 则. 设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴， ∴当时，，∴在上为减函数， 即， ∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数. 要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数， 则，即，解得.则实数的取值范围为.故选：D 二、多选题 8．已知函数有两个极值点，，则（       ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，函数的定义域为， ，则的两根为， 由，得，设，则， 令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，作出函数与函数的图像，如图， 由图可知，解得，故A错误； 又，令，令， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 由，得，所以， 又，所以， 故函数在和上单调递减，在上单调递增， 有，故C错误；，故D正确； 设， 则，即函数关于点对称， ，令， 则， 当时，，， 所以在上，，函数单调递减，且， 则在上，即，函数单调递增， 又关于点对称，所以函数在单调递增， 所以，有， 又，所以，由， 得，又函数在单调递增， 所以，即，故B正确. 故选：BD 9．已知函数，则下列说法正确的有（       ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值 【解析】，记 因为，且，在区间上显然递增， 所以记为的零点，则有 所以当时，，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 所以当时，有极小值，D正确； 由上可知，在上单调递增，且当x趋近于正无穷时，也趋于正无穷，故AC正确； 易知，故B错误 故选：ACD 10．已知函数，则（       ） A．当，时， B．当时，有最值 C．当时，为减函数 D．当