课时分层作业13 等比数列-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(十三)　等比数列 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．若正数a，b，c组成等比数列，则log2a，log2b，log2c一定是(　　) A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既不是等差数列也不是等比数列 A　[由题意得b2＝ac(a，b，c>0)， ∴log2b2＝log2ac， 即2log2b＝log2a＋log2c， ∴log2a，log2b，log2c成等差数列．] 2．等比数列{an} 中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为(　　) A．3×10－5　　 B．3×29 C．128 D．3×2－5或3×29 D　[设公比为q，则＋12q＝30， ∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝， ∴a10＝a3·q7＝12·27或12·， 即3×29或3×2－5.] 3．已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab等于(　　) A．6　　　　B．－6　　　　C．±6　　　　D．±12 C　[a＝＝， b2＝(－1)(－16)＝16，b＝±4， ∴ab＝±6.] 4．已知一等比数列的前三项依次为x，2x＋2，3x＋3，那么－13是此数列的(　　) A．第2项 B．第4项 C．第6项 D．第8项 B　[由(2x＋2)2＝x(3x＋3)解得x＝－1(舍)或x＝－4， ∴首项为－4，公比为. ∴由－4×＝－13，解得n＝4.] 5．在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　) A．－2 B．1或－2 C．1 D．1或2 B　[根据题意，代入公式 解得：或] 二、填空题 6．已知等比数列{an}中，a1＝2，且a4a6＝4a，则a3＝ ． 1　[设等比数列{an}的公比为q，由已知条件得a＝4·aq4， ∴q4＝，q2＝， ∴a3＝a1q2＝2×＝1.] 7．已知等比数列{an}中，a3＝3，a10＝384，则该数列的通项an＝ ． 3×2n－3　[由已知得＝＝q7＝128＝27，故q＝2. 所以an＝a1qn－1＝a1q2·qn－3＝a3·qn－3＝3×2n－3.] 8．在等比数列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5＝ ． 27　[由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9， ∴q2＝9，∴q＝3(q＝－3舍)， ∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.] 三、解答题 9．在各项均为负的等比数列{an}中，2an＝3an＋1，且a2·a5＝. (1)求数列{an}的通项公式； (2)－是否为该数列的项？若是，为第几项？ [解]　(1)因为2an＝3an＋1， 所以＝，数列{an}是公比为的等比数列，又a2·a5＝， 所以a＝，由于各项均为负，故a1＝－，an＝－. (2)设an＝－，则－＝－，＝，n＝6，所以－是该数列的项，为第6项． 10．在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*).证明：数列{an＋3}是等比数列． [证明]　法一：(定义法) ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴＝＝＝2. ∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列． 法二：(等比中项法) ∵an>0，∴an＋3>0. 又∵an＋1＝2an＋3， ∴an＋2＝4an＋9. ∴(an＋2＋3)(an＋3) ＝(4an＋12)(an＋3) ＝(2an＋6)2 ＝(an＋1＋3)2. 即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列， ∴数列{an＋3}是等比数列． 1．已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则等于(　　) A．＋1 B．3＋2 C．3－2 D．2－3 C　[设等比数列{an}的公比为q， 由于a1，a3，2a2成等差数列， 则2＝a1＋2a2，即a3＝a1＋2a2， 所以a1q2＝a1＋2a1q. 由于a1≠0， 所以q2＝1＋2q，解得 q＝1±. 又等比数列{an}中各项都是正数， 所以q>0，所以q＝1＋. 所以＝＝＝＝3－2.] 2．已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　) A．2 B．1 C． D． C　[法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)， ∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C. 法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)， 将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2， ∴a2＝a1q＝，故选C.] 3．已知{an}是等差数列，公差d不为零．若a