课时分层作业7 数列的概念及简单表示法-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(七)　数列的概念及简单表示法 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．若数列{an}满足an＝2n，则数列{an}是(　　) A．递增数列　　　 B．递减数列 C．常数列 D．摆动数列 A　[an＋1－an＝2n＋1－2n＝2n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列．] 2．数列－，3，－3，9，…的一个通项公式是(　　) A.an＝(－1)n(n∈N*) B．an＝(－1)n(n∈N*) C.an＝(－1)n＋1(n∈N*) D．an＝(－1)n＋1(n∈N*) B　[把前四项统一形式为－，，－，，可知它的一个通项公式为an＝(－1)n.] 3．已知数列－1，，－，…，(－1)n，…，则它的第5项为(　　) A．　　　　B．－　　　　C．　　　　D．－ D　[易知，数列的通项公式为an＝(－1)n·，当n＝5时，该项为(－1)5·＝－.] 4．已知数列的通项公式为an＝则a2a3等于(　　) A．20 B．28 C．0 D．12 A　[a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10， ∴a2a3＝2×10＝20.] 5．数列{an}中，an＝2n2－3，则125是这个数列的第几项(　　) A．4 B．8 C．7 D．12 B　[令2n2－3＝125得n＝8或n＝－8(舍)，故125是第8项．] 二、填空题 6．数列{an}的通项公式an＝，则－3是此数列的第 项． 9　[令＝－3， 即－＝－3，∴n＝9.] 7．已知数列{an}，an＝an＋m(a<0，n∈N*)，满足a1＝2，a2＝4，则a3＝ ． 2　[∴a2－a＝2， ∴a＝2或－1，又a<0，∴a＝－1. 又a＋m＝2，∴m＝3，∴an＝(－1)n＋3， ∴a3＝(－1)3＋3＝2.] 8．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A7A8＝1，如果把图2中的直角三角形继续作下去，记OA1，OA2，…，OAn，…的长度构成数列{an}，则此数列的通项公式为an＝ ． ①　　　　　　② 　[因为OA1＝1，OA2＝，OA3＝，…，OAn＝，…， 所以a1＝1，a2＝，a3＝，…，an＝.] 三、解答题 9．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)，，，，…； (2)1，3，6，10，15，…； (3)7，77，777，…. [解]　(1)注意前4项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即，，，，…，于是它们的分母依次相差3，因而有an＝. (2)注意6＝2×3，10＝2×5，15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即，，，，，…，因而有an＝. (3)把各项除以7，得1，11，111，…，再乘以9，得9，99，999，…， 因而有an＝(10n－1). 10．在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式是关于n的一次函数． (1)求数列{an}的通项公式； (2)求a2 017； (3)2 017是否为数列{an}中的项？ [解]　(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则有 解得k＝4，b＝－2，∴an＝4n－2. (2)a2 017＝4×2 017－2＝8 066. (3)由4n－2＝2 017得n＝504.75∉N*， 故2 017不是数列{an}中的项． 1．已知数列{an}的通项公式an＝log(n＋1)(n＋2)，则它的前30项之积为(　　) A．　　 　B．5　　 　C．6　　 　D． B　[a1·a2·a3·…·a30＝log23×log34×log45×…×log3132＝××…×＝＝log232＝log225＝5.] 2．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N*)，且{an}单调递增，则k的取值范围是(　　) A.(－∞，2] B．(－∞，3) C．(－∞，2) D．(－∞，3] B　[an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k，又{an}单调递增，故应有an＋1－an>0，即2n＋1－k>0恒成立，分离变量得k<2n＋1，故只需k<3即可．] 3．已知数列{an}的通项公式an＝19－2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为 ． 9　[由an＝19－2n>0，得n<. ∵n∈N*，∴n≤9.] 4．根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有 个点． n2－n＋1　[观察图形可知，第n个图有n个分支，每个分支上有(n－1)个点(不含中心点)，再加中心上1个点，则有n(n－1)＋1＝n2－n＋1