课时分层作业6 三角形中的几何计算-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(六)　三角形中的几何计算 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．已知锐角△ABC的面积为3，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为(　　) A．60°或120°　　　B．120°　　　C．60°　　　D．30° C　[S△ABC＝·BC·CA·sin C＝3，∴sin C＝，∵C∈(0°，90°)， ∴C＝60°.] 2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为(　　) A．45° B．60° C．120° D．150° A　[4S＝b2＋c2－a2＝2bc cos A， ∴4·bc sin A＝2bc cos A，∴tan A＝1， 又∵A∈(0°，180°)，∴A＝45°.] 3．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为(　　) A．40 B．20 C．40 D．20 A　[设另两边长为8x，5x， 则cos 60°＝＝， 解得x＝2.两边长是16与10， 三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.] 4．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于(　　) A． B． C． D．3 A　[面积S＝＝bc sin A＝×1×c×，∴c＝4， ∴a2＝b2＋c2－2bc cos A＝12＋42－2×1×4×＝13， ∴＝＝.] 5．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是(　　) A．8 B．16 C．18 D．32 B　[在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65， 即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65，① 在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17，② 又cos A＋cos B＝0. ①＋②得AB2＋AD2＝41， 又AB＋AD＝9， ∴AB＝5，AD＝4或AB＝4，AD＝5. ∴cos A＝， A∈，∴sin A＝， ∴这个平行四边形的面积S＝5·4·＝16.] 二、填空题 6．在△ABC中，B＝60°，AB＝1，BC＝4，则BC边上的中线AD的长为 ． 　[画出三角形(略)知AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos 60°＝3，∴AD＝.] 7．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为 ． 49　[由bc sin A＝220得c＝55， 又a2＝b2＋c2－2bc cos A＝2 401， 所以a＝49.] 8．在△ABC中，B＝120°，b＝7，c＝5，则△ABC的面积为 ． 　[由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B， 即49＝a2＋25－2×5×a cos 120°， 整理得a2＋5a－24＝0，解得a＝3或a＝－8(舍)， ∴S△ABC＝ac sin B＝×3×5sin 120°＝.] 三、解答题 9．已知△ABC的三内角满足cos (A＋B)cos (A－B)＝1－5sin2C，求证：a2＋b2＝5c2. [证明]　由已知得cos2A cos2B－sin2A sin2B＝1－5sin2C， ∴(1－sin2A)(1－sin2B)－sin2A sin2B＝1－5sin2C， ∴1－sin2A－sin2B＝1－5sin2C， ∴sin2A＋sin2B＝5sin2C. 由正弦定理得，所以＋＝5，即a2＋b2＝5c2. 10．四边形ABCD的内角A与C互补，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2. (1)求C和BD； (2)求四边形ABCD的面积． [解]　(1)由题设及余弦定理得 BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cosC＝13－12cos C，① BD2＝AB2＋DA2－2AB·DA cos A＝5＋4cos C．② 由①，②得cos C＝， 故C＝60°，BD＝. (2)四边形ABCD的面积 S＝AB·DA sin A＋BC·CD sin C＝·sin 60°＝2. 1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin B cos C＋c sin B cos A＝b，且a>b，则B＝(　　) A．　　 　B．　　 　C．　　 　D． A　[由正弦定理可得sin A sin B cos C＋sin C sin B cos A＝sin B，又因为sin B≠0，所以sin A cos C＋sin C cos A＝，所以sin (A＋C)＝sin B＝.因为a>b，所以B＝.] 2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝，b＝，且1＋2cos (B＋C)＝0，则BC边上的高等于(　　) A． B． C．