课时分层作业4 解三角形的实际应用举例-2021-2022学年高中数学必修5【名师导航】同步Word练习(人教版)

课时分层作业(四)　解三角形的实际应用举例 (建议用时：60分钟) 一、选择题 1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图所示，测得AC的长度为4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　) A．12 m　　　 B．8 m C．3 m D．4 m D　[由题意知，∠A＝∠B＝30°， 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°， 由正弦定理得，＝， 即AB＝＝＝4.] 2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) A． n mile/h B．34 n mile/h C． n mile/h D．34 n mile/h A　[如图所示，在△PMN中，＝， ∴MN＝＝34， ∴v＝＝ n mile/h.] 3．如图所示，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B间距离是(　　) A．20米 B．20米 C．20米 D．40米 C　[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中， 由余弦定理得AB＝20(米).] 4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为(　　) A.20 m B．30 m C．40 m D．60 m C　[ 如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20， 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60， ∴AB＝OA－OB＝40(m).] 5．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝60 m，则建筑物的高度为(　　) A．15 m B．20 m C．25 m D．30 m D　[设建筑物的高度为h，由题图知， PA＝2h，PB＝h，PC＝h， ∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理， 得cos ∠PBA＝，① cos ∠PBC＝.② ∵∠PBA＋∠PBC＝180°， ∴cos ∠PBA＋cos ∠PBC＝0.③ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为30 m．] 二、填空题 6．有一个长为1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长 千米． 　[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1， ∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°. 在△ABC中，＝， ∴AC＝＝＝(千米).] 7．如图所示，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为 km. 　[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km).] 8．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条索道AC，小李在山脚B处看索道AC，发现张角∠ABC＝120°，从B处攀登400米后到达D处，再看索道AC，发现张角∠ADC＝150°，从D处再攀登800米方到达C处，则索道AC的长为 米． 400　[在△ABD中，BD＝400，∠ABD＝120°，因为∠ADB＝180°－∠ADC＝30°，所以∠DAB＝30°， 所以AB＝BD＝400， AD＝＝400.在△ADC中，DC＝800，∠ADC＝150°，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos ∠ADC＝(400)2＋8002－2×400×800×cos 150°＝4002×13，所以AC＝400，故索道AC的长为400米．] 三、解答题 9．如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里，求乙船航行的速度． [解]　 如图，连接 A1B2，在△A1A2B2 中，易知∠A1A2B2 ＝60°，又易求得A1A2＝30× ＝10＝A2B2， ∴△A1A2B2为正三角形， ∴A1B2＝10. 在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°， ∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10×＝200， ∴B1B2＝10， ∴乙船每小时航行30海里． 10．江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测