2.2.1 向量加法运算及其几何意义-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

2.2　平面向量的线性运算 2.2.1　向量加法运算及其几何意义 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解向量加法的概念，理解向量加法的几何意义及运算律．(难点) 2.掌握向量加法运算法则，能熟练地进行向量加法运算．(重点) 3.能区分数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点) 1.通过对向量加法的三角形法则和平行四边形法则的学习，提升学生的直观想象和数学建模素养. 2.通过向量的加法运算律，培养学生的数学运算素养. 1．向量加法的定义 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量a，规定0+ a＝a＋0＝a. 2．向量求和的法则 三角形法则 已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝. 平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作＝a，＝b，以，为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量＝a＋b. 思考：两个向量相加就是两个向量的模相加吗？ [提示]　不是，向量的相加满足三角形法则，而模相加是数量的加法． 3．向量加法的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a. (2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 1．下列各式不一定成立的是(　　) A．a＋b＝b＋a　　　　 B．0＋a＝a C.＋＝ D．|a＋b|＝|a|＋|b| D　[A，B，C项满足运算律，而D项向量和的模不一定与向量模的和相等，满足三角形法则．] 2.＋＋等于(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. C　[＋＋＝＋＋＝.] 3．如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________. 　[由平行四边形法则可知＋＝.] 4．小船以10 km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h. 20　[根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度大小为＝20(km/h)．] 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 [探究问题] 1．求作两个向量和的法则有哪些？这些法则的物理模型是什么？ 提示：(1)平行四边形法则，对应的物理模型是力的合成等． (2)三角形法则，对应的物理模型是位移的合成等． 2．设A1，A2，A3，…，An(n∈N，且n≥3)是平面内的点，则一般情况下，＋＋＋…＋的运算结果是什么？ 提示：将三角形法则进行推广可知＋＋＋…＋＝. 【例1】　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)： ①＋＝________； ②＋＝________； ③＋＋＝________. (2)①如图甲所示，求作向量和a＋b； ②如图乙所示，求作向量和a＋b＋c. 　甲　　　　　　乙 思路点拨：(1)先由平行四边形的性质得到有关的相等向量，并进行代换，然后用三角形法则化简． (2)用三角形法则或平行四边形法则画图． (1)①　②　③　[如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知： ①＋＝＋＝. ②＋＝＋＝. ③＋＋＝＋＋＝.] (2)[解]　①首先作向量＝a，然后作向量＝b，则向量＝a＋b.如图所示． ②法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，再作向量＝b，则得向量＝a＋b，然后作向量＝c，则向量＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求． 法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量＝a，＝b，＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则＝＋＝a＋b.再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则＝＋＝a＋b＋c即为所求． 1．在本例(1)条件下，求＋. [解]　因为BC∥DF，BD∥CF，所以四边形BCFD是平行四边形，所以＋＝. 2．在本例(1)图形中求作向量＋＋. [解]　过A作AG∥DF交CF的延长线于点G， 则＋＝，作＝，连接， 则＝＋＋，如图所示． 1．向量求和的注意点 (1)三角形法则对于两个向量共线时也适用． (2)两个向量的和向量仍是一个向量． (3)平行四边形法则对于两个向量共线时不适用． 2．利用三角形法则时，要注意两向量“首尾顺次相连”，其和向量为“起点指向终点”的向量；利用平行四边形法则要注意两向量“共起点”，其和向量为共起点的“对角线”向量． 提醒：(1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；(2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半． 向量加法运算律的应用 【例2】　(1)化简： ①＋； ②＋＋； ③＋＋＋＋. (2)如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式： ①＋＋； ②＋＋＋.