1.6 三角函数模型的简单应用-2021-2022学年高中数学必修4【名师导航】同步Word教参(人教版)

1.6　三角函数模型的简单应用 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用三角函数模型y＝Asin(ωx＋φ)＋B解决一些具有周期变化规律的实际问题．(重点) 2．将某些实际问题抽象为三角函数模型．(难点) 通过把实际问题抽象成三角函数模型，提升数学抽象、数学运算和数学建模素养. 1．三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型．其基本模型可化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式． 2．解三角函数应用题的基本步骤： (1)审清题意； (2)搜集整理数据，建立数学模型； (3)讨论变量关系，求解数学模型； (4)检验，作出结论． 1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin 100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是(　　) A.　　　B．100　　　C.　　　D．50 C　[T＝＝＝.] 2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　　) A.，　　　B．2，　　　C.，π　　　D．2，π A　[t＝0时，θ＝sin＝；又T＝＝π，所以单摆频率为.] 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往返一次． 0．8　[观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次．] 4．如图所示的图象显示的是相对于平均海平面的某海湾的水面高度y(m)在某天24 h内的变化情况，则水面高度y关于从夜间0时开始的时间x的函数关系式为________________． y＝－6sinx　[设y与x的函数关系式为y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，则A＝6，T＝＝12，ω＝. 当x＝9时，ymax＝6.故 ×9＋φ＝＋2kπ，k∈Z. 取k＝1得φ＝π，即y＝－6sinx.] 三角函数图象的应用 【例1】　(1)函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是(　　) A　　　 　B　　　　　C　　　　D (2)作出函数y＝|cos x|的图象，判断其奇偶性、周期性并写出单调区间． 思路点拨：(1)根据函数的奇偶性和图象对称性的关系判断． (2)依据y＝|cos x|＝画图，并判断此函数的性质． (1)C　[y＝x＋sin|x|是非奇非偶函数， 图象既不关于y轴对称，也不关于原点对称，故选C.] (2)[解]　y＝|cos x|图象如图所示． 由图象可知：T＝π；y＝|cos x|是偶函数；单调递增区间为，k∈Z， 单调递减区间为，k∈Z. (1)一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据． (2)一些函数图象可以通过基本三角函数图象翻折得到．例如：①由函数y＝f(x)的图象要得到y＝|f(x)|的图象，只需将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不动，即“上不动，下翻上”．②由函数y＝f(x)的图象要得到y＝f(|x|)的图象，应保留y＝f(x)位于y轴右侧的图象，去掉y轴左侧的图象，再由y轴右侧的图象翻折得到y轴左侧的图象，即“右不动，右翻左”． [跟进训练] 1．函数y＝ln cos x的大致图象是(　　) A　[函数为偶函数，排除B，D，又∵x∈时，cos x≤1，这时ln cos x≤0，故选A.] 三角函数模型在物理学中的应用 【例2】　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)． (1)用“五点法”作出这个函数的简图； (2)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (4)经过多长时间小球往复振动一次？ 思路点拨：确定函数y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A，ω，φ的物理意义是解题关键． [解]　(1)列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (2)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (3)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (4)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． [跟进训练] 2．单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距